化归.归纳.类比.联想

EDITOR: KJ021320

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本内容源于书籍《化归与归纳.类比.联想》

1.       一般与特殊

1.1       特殊与一般的关系

特殊与一般之间存在着如下关系 :

若命题 P 在一般条件下面为真 , 则在特殊条件下面 P 也真 , 我们把这种的关系叫做关系 A.

为了方便计 , 我们把关系 A 的逆命题陈述如下 , 并称之为关系 B:

若命题 P 在一般条件下为假 , 则在一般条件下 P 亦为假 .

凭借关系 B, 我们就可以利用 ” 特殊 ” 而否定 ” 一般 ” . 从而实现化归 .

 

 

1.2       特殊化与简单化

一个使用最普通而又较为简单易行的化归途径 , 乃是把所给问题的形式向特殊的或简单的形式转化 . 因为特殊的事物常常比较简单 , 而简单的事物又往往比较容易解决 .

简单与啊 , 是按照概念发展的阶段来区分的 , 而且是相对而言 . 概念发展的低级阶段的形式与高级阶段的形式相比较 , 我们把前者称为简单形式 , 后者称为复杂形式 .

由于简单形式中常包含着特殊形式 , 而特殊形式往往比较简单 , 所以我们把 ” 特殊化 ” 与 ” 简单化 ” 合并在一起讨论 .

 

1.3       命题中之特殊因素的挖掘

所谓 ” 特殊因素 ”, 乃指命题结构中的那些特殊的图形 , 数量和关系结构等 .

任何数学命题的结构总可以从如下两个方面加以考虑 . 其一是量性对象 , 即如集合之元素及其个数 ( 或基数 ), 方程的系数和次数 , 边缘的取值范围 , 平面或空间的几何元素 , 如点 , 线 , 面等等 . 其次是关系结构 , 即如集合的性质 , 图形的位置关系 , 符号的联结方式 , 条件与结论的关系等等 .

数学命题结构中的那些量性对象和关系结构统称为命题结构中的因素

 

1.4       一般化

我们对特殊形式比较熟悉时 , 我们就沿着特殊化的途径去实现化归 , 但若我们对一般形式比较熟悉时 , 那么就应该反过来 , 沿着一般化的途径去实现化归 . 这两条途径是相反相成的 . 两者和谐地统一在一起 , 使化归方法更为完善 .

 

2.       分解与组合

2.1       分解的对象

在用分解和组合去实现化归过程中 , 对待处理的问题 , 通常有如下四个方法被作为分解对象 :

2.1.1          问题本身 ( 把问题本身作为被分解的对象 )

将整体分解为局部之和的形式 .

将局部分解为整体与另一局部之差的形式 .

 

2.1.2          问题的条件 ( 针对问题条件的分解 )

问题条件被分解的功能在于能暂时解除他们之间的制约关系 , 使我们能更自由的分别探求只满足部分条件的对象的集合 . 当然 , 为了求得问题的解决 , 我们还须进行分解后的重新组合 , 也就是说我们还应该回过头来再次利用制约关系 , 往求上述那些满足部门条件的对象的集合

对条件之间的制约关系比较复杂的问题 , 特别要注意条件的分解 . 因为通过条件分解 , 可以使制约关系变得清晰明朗和便于运用 .

 

2.1.3          问题的外延 ( 问题外延的分解 )

外延的分解即相当于逻辑学中的所谓 ” 划分 ”. 但从化归的角度讲 , 我们强调分解问题的外延 , 主要目的是为了弄清求解问题时应从哪几个方面入手 . 在分解之前首先要确定一个恰到好处的区分标准 , 分解的时候还应该注意不重复 , 不遗漏

 

2.1.4          实现目标的过程 ( 对实现目标的过程进行分解 )

我们把这种分解方式称为台阶式分解 . 因为通过这种分解 ,” 过程 ” 即被分为几个阶段 , 每一个阶段都有一个小目标 , 每个小目标即形成一个台阶 , 使得我们以沿着这个台阶一步一步地去逼近问题获解的总目标 . 显然 , 台阶下层的小目标应比上层的小目标容易实现一些 .

 

2.2       局部变动法

局部变动法是一种特殊而重要的分解方法 . 它常被用来实现可变因素较多的问题的化归过程 .

数学中的局部变动法也是如此 , 其处理方法是暂时固定问题中的一些可变因素 , 使之不变 , 先研究另一些可变因素对求解问题的影响 , 取得局部的成果后 , 再从原先保持不变的因素里取出一些继续研究 , 直到问题全部获解 .

 

2.3       补集法

把所说的 ” 整体 ” 理解为全集 I, 又把 ” 局部 ” 理解为该全集 I 的子集 A, 那么原问题的结论就是 A 的补集 A   . 当 I 与 A 都已为我们所熟悉 , 或者比较简单而易求时 , 那么通过 I 与 A 去求得 A 就成了一条简单而易行的路子 .

从思维形式来说 , 补集法是一种逆向思维 , 由于他常在 ” 顺向 ” 思维受阻时发挥作用 , 因此会给人一种感觉 : 用补集法给出的解往往是优美而直截了当的 .

 

 

 

3.       归纳 , 类比 , 联想及其在化归中的作用

无论是一个成熟的数学分支 , 或者是一个已经获解的数学问题 , 都是通过演绎展开的 . 但无论是考察某一数学分支的生成与发展过程 , 还是分析一个问题求解的过程 , 演绎推理主要是在人们抓住真理之后 , 再补行的论证手续 , 因而演绎推理并不是发现和创新的重要手段 . 对于寻找真理 , 发现真理和探索求解方案而言 , 更重要的是实验 , 观察 , 归纳 , 类比 和联想 等思想方法

 

3.1       归纳的意义及其在化归中的作用

3.1.1          完全归纳 ( 完全归纳推理 )

根据某类事物中之每一事物都具有某种性质 P, 推理出该类中全部事物都具有该性质 P 的归纳推理方法

完全归纳法前提必须包括某类事物中的一切对象 , 无一遗漏 , 而且作为前提的判断也必须是真实的 , 所以完全归纳得出的结论是真实可靠的 .

3.1.2          不完全归纳 ( 经验归纳 )

通过对一类事物的部分对象的考虑 , 从中作出有关这类食物的一般性结论的猜想的方法 ( 观察 , 实践 -> 推广 -> 猜想一般性结论 )

3.1.2.1    枚举归纳

以某个对象 , 公式的多次重复作为判断依据 ( 可靠性大有问题 )

3.1.2.2    因果归纳

因果归纳是把一类事物中部分对象的因果关系作出判断的前提而做出一般性猜想的推理方法

3.1.3          用不完全归纳法发现问题的结论

有两种形式

A 由特殊事物直接猜测结论

B 根据规律猜测一个递推关系 , 然后凭借递推关系去发现结论

不论哪一种形式所得的结论 , 都必须要补行严格的证明手续

 

3.1.4          用不完全归纳法发现解决问题的途径

用不完全归纳法从特殊问题的处理方法中国那出一半问题的处理方法 , 即发现解决问题的途径

 

3.2       类比的意义及其在化归中的作用

3.2.1          类比的意义

类比推理是根据两个不同的对象 , 在某些方面 ( 如特征 , 属性 , 关系等 ) 的类同之处 , 猜测这两个对象在其他方面也可能有类同之处 , 并作出某种判断的推理方法 .

A.      类比意义中所说的 " 类同 " 点 , 既可通过表面形式的观察而得到 , 也通过仔细的分析而获得 . 当然 , 后者更为重要

B.      由类比而产生的联想 , 必须 " 合情 ", 也就是说 , 联想必须兼顾类同点和相异点所反映的关系

C.      类比于归纳一样 , 也是一种 " 合情 " 推理 , 其结论之正确与否 , 必须经过严格的证明 .

 

3.2.2          类比于归纳的关系

类比于归纳在意义上差比是很明显的 . 然而在发现真理 , 或者在确定化归方法的过程中 , 要截然吧二者的作用区分开来 , 却是不大容易 . 原因在于他们常常交融在一起 , 协同完成寻找和发现真理的任务 .

要用好类比推理 , 必须要有丰富的知识与联想的能力 . 知识与想象力越丰富 , 可供类比的题材就越少 , 形式新命题 , 发现新的方法机会也越多 .

3.2.3          类比在归纳中的作用

类比推理他是一种创造性较强而可靠性较弱的推理方法 . 我们应最大限度地发挥其创造性作用 , 而用严格论证的方法克服其可靠性较弱的缺点 .

类比推理的创造性作用体现以下两点

A.      发现新的命题 , 直至发现新的数学领域

B.      发现解决问题的途径

类比可以十分有效的使人们接受新知识 , 同时 , 类比可以帮助人们梳理与巩固知识的常用方法 .

实现化归的主要困难在于如何确定化归的方向 , 而化归方向的确定又主要体现在确定未知目标与确定解题途径这两点上 . 试把这两点与上述类比的创造性作用相对照 , 即可知类比推理恰是确定化归方向的一把钥匙 . 也就是说 , 类比推理之于化归 , 一可以帮助我们去确定未知目标 , 二可帮助我们寻找解决问题的途径 . 当然 , 我们这样讲 , 丝毫没有贬低前节中所说的归纳和下节所要讨论之联想对于化归的作用 . 相反地 , 正式归纳 , 类比和联想的有机结合 , 使化归更为完善 .

3.2.3.1    运用类比法预测未知目标从而实现化归
用类比法预测未知目标的关键是寻找或模拟一个比原问题简单或熟悉的类比对象 . 我们可以通过对类比对象的未知目标的研究 , 来猜测原来问题的未知目标 . 未知目标一旦被确定 , 化归的途径也就大致确定了 .

3.2.3.2    运用类比法寻求解决问题的途径和方法

大家都知道 " 触类旁通 " 的含义 , 意思基本上也就是用类比法去寻求解决问题的途径和方法 . 也就是说 , 当我们直接思考某个问题而难于找到正确解决途径时 , 不妨从原来的思路中解脱出来 , 从旁思考一些与之类似的问题 , 看看能否由此受到一些启发 .

 

3.3       联想的意义及其在化归中的作用

3.3.1          联想的意义

联想是有某种概念而引起其他相关概念的思维形式 , 他与归纳类比一样 , 也是一种寻找真理和发现真理的重要手段 .

一般来说 , 联想推理有 3 个组成部分 , 或称联想 3 要素 :

其一是上面所说的 " 某种概念 ", 它是联想的触发点 , 是产生联想的起因 , 我们称为联想因素 .

其二是上述之 " 相关概念 ", 它是联想的结果 , 我们常据此作出某种演算或判断 . 我们把 " 相关概念 " 及据此作出的判断合称为联想效应 .

其三是联想因素与联想效应的相关性 , 这是由此及彼的线路 . 这样的线路是客观存在的 , 不过要靠知识和想象力才能被发现 , 才能通行 , 我们称为联想线路 .

数学联想中的联想因素和联想效应 , 除有少数例外情形之外 , 一般都是数学的对象 , 关系结构及数学方法 , 而联想线路则是这些数学知识之间的客观联系 .联想因素产生对问题的审视 . 所谓审视 , 他不同于一般的观察了解 , 而是在观察了解基础上的分析与探究 , 诸如对数学对象的探究 , 对数学关系结构的探究等 . 至于联想线路 , 则是在只是的纵横联系 , 因果分析等过程中被发现的 .

 

3.3.2          联想与类比的关系

联想与类比在意义上的区别是明显的 , 类比偏重于对两类对象性质上的相同或相似因素的比较 , 并据此进行类推 . 而联想 , 则虽也是由一个对象相到另一个对象的思维形式 , 但它并不受两类对象性质相似或不相似的限制 . 但是联想与类比又有密切的关系 , 他们往往交织在一起共同探索和发现解决问题的方法 .

 

3.3.3          联想在化归中的作用

3.3.3.1    简单联想的问题

简单联想的联想因素产生于对数学对象和关系结构的审视 , 而联想线路的发现则依赖于知识间的纵横联系 , 因果分析和丰富的想象力 . 所以在运用联想法探索化归途径时 , 我们应该有意识和有目的地致力于审视与联系 , 而且还要敢于想象 .

 

3.3.3.2    复杂联想的问题

复杂联想是一种与其他思维形式交织在一起的联想形式