离散数学——集合论（一）

这部分内容因为高中接触过，这种熟悉感就会降低心里对新知识难度的畏惧感，难点还是利用coq语言证明相关结论，文末贴了一些编辑时用到的链接。关于coq语言会在后边发一些学习笔记，算是加深自己的理解，也希望帮助到大家。

基本概念

• 引入：
  不精确的自然语言→精确的集合语言：如 Q(x)：x是好人，那么当有一个对象时，无法精确地判定其是否为好人，每个人都有自己的主观意愿，那么如果我们引入一个Set，枚举出具有该断言的所有对象，将判断Q(x)转化为判断x是否在Set里，就能无二义地证明Q(x)为0还是为1（当然现实中我们对集合的划分也会出现歧义，在离散数学中集合是可以精确界定的，这也体现了数理逻辑中的严谨性）

• 集合论
  1.集合论是表达数学的基础语言，即所有的数学概念都是用集合来表示的
  2.集合是对变量的进一层抽象，高中我们不不需要知道x,y具体表示的是什么，只需要研究x,y之间的关系，集合论中也不需要知道A,B具体代表什么，只需要研究其之间的关系，使抽象层面更高一层。
  3.由于集合是一种最原始的概念，我们不对集合有精确的定义，就如同我们不会给1,2,3下一个精确的定义。
  4.集合中有一组一阶逻辑描述的公理Zermelo–Fraenkel set theory
  5 思想：encapsulate，将逻辑封装成集合上的运算，逻辑运算转换为集合运算过程
  6 可以精确确定x是否属于定义好的集合S

• 集合
  直观上说，把使具体谓词P(x)为真的对象全体称为一个集合，用大写字母S,R,T…表示
  ⭐元素 s∈R s∉R （非黑即白）
  ⭐集合的表示
  1 枚举法：有限元素或有规律无限元素
  {1,2,3} {0,2,4,6,…}
  2 描述法（用精确的语言）
  {x|P(x)} {x|x是小鬼的粉丝}
  ⭐集合和谓词的关系
  P(x)~> S_p={x|P(x)}
  S~> P_S(x)=x∈S
  ⭐其他概念补充
  1 单点集{a}
  2 有限集合 无限集合
  3 |S|表示集合中元素的个数，称为该集合的基数
  |N|=∞
  ⭐外延公理 A=B
  1 枚举法表示与元素出现次序，重复出现无关
  {1，2，3}={3，2，1}
  {2，2，2}={2}
  2 集合的表示方法不唯一
  ※利用ZF证明两个集合相等
  ∀x(x∈A↔x∈B)
  ⭐集合的包含关系
  1 subset superset iff ∀x(x∈A→x∈B) 记作A⊂B或者B⊃A
  A⊂B~>∀x(A(x)→B(x))为真
  2 真包含关系
  （A⊂B）∧∃x（x∈B∧x∉A）
  ※注意区分⊂和∈
  如果一个集合跨次元了，那么就可能两个关系同时成立
  比如A={1，2，3} B={1，2，3，{1，2，3}}
  ⭐判断两个集合相等
  A=B
  ⇔∀x((x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈A))
  ⇔∀x(x∈A→x∈B)∧∀x(x∈B→x∈A)
  ⇔A⊂B∧B⊂A
  A⊂A（自反性）
  if A⊂B∧B⊂C then A⊂C（传递性）
  ⭐Univers&Empty Set
  全集合U：包含所有讨论对象，但是不包含自身（会引起悖论）
  ∀x（x∈U)
  Empty Set
  ∀x(x∉∅)
  证明：if A is a Set ,then ∅⊂A证明：∀x(x∈∅→x∈A),前提为假
  空集可以是其他集合的元素
  空集是唯一的
  在逻辑运算中：U just likes T,∅likes F.

集合上的运算

运算的定义（部分简单内容跳过，逻辑公式可自己写出）

• 交并差运算（差运算也可以看作取补）

• 不相交

• 集合运算恒等式和不等式（类比命题公式）
  注意：
  1 集合运算没有定义优先级别
  2 集合运算和逻辑运算本质上相同，所以可以将相关公式运用到集合运算

• Complementary Set
  唯一性定理：B是A补集的充要条件是：
  A∪B=U∧A∩B=∅
  证明：B=(A∪A补)∩B=(A∩B)∪(A补∩B)=(A∩A补)∪(A补∩B)=A补∩(A∪B)=A补
  补的恒等式和不等式
  补运算相当于逻辑否定运算

• 相关证明：运用逻辑部分的知识

文氏图和范式 Venn diagram

• 不同区域的编号表示（求集合解析式）

最后贴几个不错的网站
在线画韦恩图，比较简单的操作
生成latex表格
生成latex数学公式