离散数学 集合论

1 集合代数

1.1 集合的基本概念

1.1.1 定义

集合是不能精确定义的基本概念。直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就称作集合

而这些事物就是这个集合的元素或成员

1.1.2 表示集合的方法

1.1.2.1 列元素法

1.1.2.2 谓词表示法

1.1.3 集合的性质

1.1.3.1 元素的互异性

集合的元素是彼此不同的

1.1.3.2 元素的无序性

集合的元素是无序的

1.1.4 元素和集合之间的关系

元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记做 ∈ ∈ ，不属于记做 ∉ ∉

1.1.5 集合之间的关系

1.1.5.1 隶属关系

隶属关系可以看做处在不同层次上的集合之间的关系

1.1.5.2 包含关系

设 A,B A , B 为集合，如果 B B 中的每个元素都是 A A 中的元素，则称 B B 是 A A 的子集合，简称子集。这是也成 B B 被 A A 包含，或 A A 包含 B B ，记做 B⊆A B ⊆ A

如果 B B 不被 A A 包含，则记做 B⊈A B ⊈ A

包含的符号化表示为

B⊆A⇔∀x(x∈B→x∈A) B ⊆ A ⇔ ∀ x ( x ∈ B → x ∈ A )

1.1.5.3 相等关系

设 A,B A , B 为集合，如果 A⊆B A ⊆ B 且 B⊆A B ⊆ A ，则称 A A 与 B B 相等，记做 A=B A = B

如果 A,B A , B 不相等，记作 A≠B A ≠ B

相等的符号化表示为

A=B⇔A⊆B∧B⊆A A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A

1.1.5.4 真子集

设 A,B A , B 为集合，如果 B⊆A B ⊆ A 且 B≠A B ≠ A 则称 B B 是 A A 的真子集，记作 B⊂A B ⊂ A

如果 B B 不是 A A 的真子集，则记做 B⊈A B ⊈ A

真子集的符号化表示为

B⊂A⇔B⊆A∧B≠A B ⊂ A ⇔ B ⊆ A ∧ B ≠ A

1.1.6 空集

不含任何元素的集合称作空集，记作 Φ Φ

空集可以符号化表示为

Φ={ x|x≠x} Φ = { x | x ≠ x }

1.1.6.1 性质即推论

空集是一切集合的子集

空集是唯一的

1.1.7 n元集

含有 n n 个元素的集合简称为 n n 元集，它的含有 m(m≤n) m ( m ≤ n ) 个元素的子集称作它的m元子集

n n 元集的子集个数为 2n 2 n

1.1.8 幂集

设 A A 为集合，把 A A 的全体子集构成的集合称作 A A 的幂集，称作 P(A) P ( A ) （或 2A 2 A ）

幂集的符号化表示为

P(A)={ x|x⊆A} P ( A ) = { x | x ⊆ A }

如果 |A|=n | A | = n ，则 |P(A)|=2n | P ( A ) | = 2 n

1.1.9 全集

在一个问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作 E E

全集具有相对性

1.2 集合的运算

1.2.1 集合的初级运算

1.2.1.1 交运算

∩ ∩

1.2.1.2 并运算

∪ ∪

1.2.1.3 相对补运算

A−B={ x|x∈A∧x∉B} A − B = { x | x ∈ A ∧ x ∉ B }

1.2.1.4 对称差运算

A⊕B=(A−B)∪(B−A) A ⊕ B = ( A − B ) ∪ ( B − A )

1.2.2 集合的广义运算

1.2.2.1 广义并

设 A A 为集合， A A 的元素的元素构成的集合称作 A A 的广义并，记作 ∪A ∪ A ，符号化表示为

∪A={ x|∃z(z∈A∧x∈z)} ∪ A = { x | ∃ z ( z ∈ A ∧ x ∈ z ) }

1.2.2.2 广义交

设 A A 为集合， A A 的所有元素的公共元素构成的集合称作 A A 的广义交，记作 ∩A ∩ A ，符号化表示为

∩A={ x|∀z(z∈A∧x∈z)} ∩ A = { x | ∀ z ( z ∈ A ∧ x ∈ z ) }

1.2.2.3 绝对补运算

在给定全集 E E 后

∼A=E−A={x|x∈E∧x∉A} ∼ A = E − A = { x | x ∈ E ∧ x ∉ A }

1.2.3 运算顺序

1.2.3.1 一类运算

广义并，广义交，绝对补运算

1.2.3.2 二类运算

并，交，相对补，对称差运算为二类运算

1.2.3.3 运算顺序

• 一类运算优于二类运算
• 一类运算之间由右向左顺序进行
• 二类运算之间由括号决定先后顺序

1.3 有穷集的计数

1.3.1 计数方法

1.3.1.1 文氏图（venn diagram）

1.3.1.2 包含排斥原理（容斥原理）

1.3.1.2.1 定理描述

设 S S 为有穷集， P1,P2,⋯,Pn P 1 , P 2 , ⋯ , P n 是 n n 个性质。 S S 中的任何元素 x x 或者具有性质 Pi P i 或者 不具有性质 Pi P i , 两种情况必居其一。令 Ai A i 表示 S S 中具有性质 Pi P i 的元素构成的子集，则 S S 中不具有性质 P1,P2,⋯,Pn P 1 , P 2 , ⋯ , P n 的元素数为

|A1¯∩A2¯∩⋯∩An¯|=|S|−∑i=1n|Ai|+∑1≤i<j≤n|Ai∩Aj|+⋯+(−1)n|A1∩A2∩⋯∩An| | A 1 ¯ ∩ A 2 ¯ ∩ ⋯ ∩ A n ¯ | = | S | − ∑ i = 1 n | A i | + ∑ 1 ≤ i < j ≤ n | A i ∩ A j | + ⋯ + ( − 1 ) n | A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ A n |

1.3.1.2.2 求欧拉函数

欧拉函数 Φ(n)表示{ 0,1,⋯,n−1} Φ ( n ) 表 示 { 0 , 1 , ⋯ , n − 1 } 中与 n n 互素的数的个数。

认为 Φ(1)=1 Φ ( 1 ) = 1

Φ(n)=|A1¯∩A2¯∩⋯∩An¯|=n(1−1p1)(1−1p2)⋯(1−1pn) Φ ( n ) = | A 1 ¯ ∩ A 2 ¯ ∩ ⋯ ∩ A n ¯ | = n ( 1 − 1 p 1 ) ( 1 − 1 p 2 ) ⋯ ( 1 − 1 p n )

1.3.1.2.3 错位排列数

Dn=n![1−11!+12!−⋯+(−1)n1n!] D n = n ! [ 1 − 1 1 ! + 1 2 ! − ⋯ + ( − 1 ) n 1 n ! ]

1.4 集合恒等式

1.4.1 交换律

1.4.2 结合律

1.4.3 幂等律

1.4.4 分配律

1.4.5 吸收律

1.4.6 补元律

A∩∼A=∅,A∩∼A=E A ∩ ∼ A = ∅ , A ∩ ∼ A = E

1.4.7 零律

1.4.8 同一律

1.4.9 德摩根律

1.4.10 双重否定律

2 二元关系

2.1 有序对与笛卡尔积

2.1.1 有序对

2.1.1.1 定义

由两个元素 x x 和 y y （允许 x=y x = y ）按照一定顺序排列成的二元组称作一个有序对或序偶，记作，其中 x x 是它的第一元素， y y 是它的第二元素

2.1.1.2 性质

• 当 x≠y x ≠ y 时， $\neq$
• $=$的充要条件是 x=u x = u 且 y=u y = u

2.1.2 笛卡尔积

2.1.2.1 定义

设 A,B A , B 为集合，用 A A 中元素为第一元素， B B 中元素为第二元素构成有序对。对所有这样的有序对组成的集合称作 A A 和 B B 的笛卡尔积，记作 A×B A × B

笛卡尔积的符号化表示为

A×B={ <x,y>|x∈A∧y∈B} A × B = { < x , y > | x ∈ A ∧ y ∈ B }

2.1.2.2 性质

• A×∅=∅,∅×A=∅ A × ∅ = ∅ , ∅ × A = ∅
• 一般来说，不满足交换律
• 不满足结合律
• 对并和交运算满足分配律
• A⊆C∧B⊆D⇒A×B⊆C×D A ⊆ C ∧ B ⊆ D ⇒ A × B ⊆ C × D

2.2 二元关系

2.2.1 定义

如果一个集合满足以下条件之一
- 集合非空，且他的元素都是有序对
- 集合是空集

则称该集合为一个二元关系，记作 R R ，二元关系也可简称为关系。对于二元关系R，如果 <x,y>∈R < x , y >∈ R ，则记做 xRy x R y

设 A,B A , B 为集合， A×B A × B 的任何子集所定义的二元关系称作从 A A 到 B B 的二元关系，特别当 A=B A = B 时称作A上的二元关系

如果 |A|=n,|B|=m | A | = n , | B | = m ，那么 |A×B|=nm | A × B | = n m ，从 A A 到 B B 的二元关系有 2nm 2 n m 个

2.2.2 特殊的二元关系

2.2.2.1 空关系

2.2.2.2 全域关系

EA={ <x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A E A = { < x , y > | x ∈ A ∧ y ∈ A } = A × A

2.2.2.3 恒等关系

EA={ <x,x>|x∈A} E A = { < x , x > | x ∈ A }

2.2.2.4 小于等于关系

2.2.2.5 整除关系

2.2.2.6 包含关系

2.2.3 关系的表示

2.2.3.1 集合表达式

2.2.3.2 关系矩阵

rij{ 1,xiRxj0,else r i j { 1 , x i R x j 0 , e l s e

记做 MR M R

2.2.3.3 关系图

2.3 关系的运算

2.3.1 基本概念

2.3.1.1 定义域

R R 中所有有序对的第一元素构成的集合称作 R R 的定义域，记作 domR d o m R ，形式化表示为

domR={ x|∃y(<x,y>∈R)} d o m R = { x | ∃ y ( < x , y >∈ R ) }

2.3.1.2 值域

R R 中所有有序对的第二元素构成的集合称作 R R 的值域，记作 ranR r a n R ，形式化表示为

ranR={ y|∃x(<x,y>∈R)} r a n R = { y | ∃ x ( < x , y >∈ R ) }

2.3.1.3 域

R R 的定义域和值域的并集称作 R R 的域，记作 fldR f l d R ，形式化表示为

fldR=domR∪ranR f l d R = d o m R ∪ r a n R

2.3.1.4 逆关系

设 R R 为二元关系， R R 的逆关系，简称 R R 的逆，记作 R−1，其中 R − 1 ， 其 中

R−1={ <x,y>|<y,x>∈R} R − 1 = { < x , y > | < y , x >∈ R }

2.3.1.5 右复合

设 F,G F , G 为二元关系， G G 对 F F 的右复合记作 F∘G F ∘ G ，其中

F∘G={ <x,y>|∃t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)} F ∘ G = { < x , y > | ∃ t ( < x , t >∈ F ∧ < t , y >∈ G ) }

2.3.1.6 限制和像

R R 在 A A 上的限制记作 R↾A R ↾ A ，其中

R↾A={ <x,y>|xRy∧x∈A} R ↾ A = { < x , y > | x R y ∧ x ∈ A }

A A 在 R R 下的像记作 R[A] R [ A ] ，其中

R[A]=ran(R↾A) R [ A ] = r a n ( R ↾ A )

2.3.1.7 幂

设 R R 为 A A 上的关系 ， n n 为自然数，则 R R 的 n n 次幂 Rn R n 定义为

• R0={ <x,x>|x∈A}=IA R 0 = { < x , x > | x ∈ A } = I A
• Rn+1=Rn∘R R n + 1 = R n ∘ R

2.3.2 关系运算的性质

(F−1)−1=F ( F − 1 ) − 1 = F

domF−1=ranF,ranF−1=domF d o m F − 1 = r a n F , r a n F − 1 = d o m F

(F∘G)∘H=F∘(G∘H) ( F ∘ G ) ∘ H = F ∘ ( G ∘ H )

(F∘G)−1=G−1∘F−1 ( F ∘ G ) − 1 = G − 1 ∘ F − 1

R∘IA=IA∘R=R R ∘ I A = I A ∘ R = R

F∘(G∪H)=F∘G∪F∘H F ∘ ( G ∪ H ) = F ∘ G ∪ F ∘ H

(G∪H)∘F=G∘F∪H∘F ( G ∪ H ) ∘ F = G ∘ F ∪ H ∘ F

F∘(G∩H)⊆F∘G∩F∘H F ∘ ( G ∩ H ) ⊆ F ∘ G ∩ F ∘ H

(G∩H)∘F⊆G∘F∩H∘F ( G ∩ H ) ∘ F ⊆ G ∘ F ∩ H ∘ F

F↾G(A∪B)=F↾A∪F↾B F ↾ G ( A ∪ B ) = F ↾ A ∪ F ↾ B

F[A∪B]=F[A]∪F[B] F [ A ∪ B ] = F [ A ] ∪ F [ B ]

F↾(A∩B)=F↾A∩F↾B F ↾ ( A ∩ B ) = F ↾ A ∩ F ↾ B

F[A∩B]⊆F[A]∩F[B] F [ A ∩ B ] ⊆ F [ A ] ∩ F [ B ]

Rm∘Rn=Rm+n R m ∘ R n = R m + n

(Rm)n=Rmn ( R m ) n = R m n

R1⊆R2⇒r(R1)⊆r(R2)∧s(R1)⊆s(R2)∧t(R1)⊆t(R2) R 1 ⊆ R 2 ⇒ r ( R 1 ) ⊆ r ( R 2 ) ∧ s ( R 1 ) ⊆ s ( R 2 ) ∧ t ( R 1 ) ⊆ t ( R 2 )

R自反⇒s(R)和t(R)自反 R 自 反 ⇒ s ( R ) 和 t ( R ) 自 反

R对称⇒r(R)和t(R)对称 R 对 称 ⇒ r ( R ) 和 t ( R ) 对 称

R传递⇒r(R)传递 R 传 递 ⇒ r ( R ) 传 递

2.4 关系的性质

2.4.1 自反性与反自反性

2.4.1.1 自反性

R R 在 A A 上自反 ⇔∀x(x∈A→<x,x>∈R) ⇔ ∀ x ( x ∈ A →< x , x >∈ R )

2.4.1.2 反自反性

R R 在 A A 上反自反 ⇔∀x(x∈A→<x,x>∉R) ⇔ ∀ x ( x ∈ A →< x , x >∉ R )

2.4.2 对称性与反对称性

2.4.2.1 对称性

R R 在 A A 上对称 ⇔∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R) ⇔ ∀ x ∀ y ( x , y ∈ A ∧ < x , y >∈ R →< y , x >∈ R )

2.4.2.2 反对称性

R R 在 A A 上反对称 ⇔∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y) ⇔ ∀ x ∀ y ( x , y ∈ A ∧ < x , y >∈ R ∧ < y , x >∈ R → x = y )

2.4.3 传递性

R R 在 A A 上传递 ⇔∀x∀y∀z(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,y>∈R) ⇔ ∀ x ∀ y ∀ z ( x , y , z ∈ A ∧ < x , y >∈ R ∧ < y , z >∈ R →< x , y >∈ R )

2.4.4 性质的判别

表示\性质	自反	反自反	对称	反对称	传递
集合表达式	IA⊆R I A ⊆ R	R∩IA=∅ R ∩ I A = ∅	R=R−1 R = R − 1	R∩R−1⊆IA R ∩ R − 1 ⊆ I A	R∘R⊆R R ∘ R ⊆ R
关系矩阵	主对角线元素全是1	主对角线元素全是0	矩阵为对称矩阵	如果 rij=1 r i j = 1 , 且 i≠j i ≠ j ，则 rji=0 r j i = 0	对 M2 M 2 中 1 所在的位置，在 M M 中相应的位置也是 1
关系图	每个节点都有环	每个节点都没有环	如果两个节点之间有边，则是一对方向相反的边（无向边）	如果两个节点之间有边，则是一条有向边（无双向边）	如果节点 xi x i 到 xj x j 有边， xj x j 到 xk x k 有边，则从 xi x i 到 xk x k 有边

2.5 关系的闭包

2.5.1 自反闭包

设 R R 是非空集合 A A 上的关系， R R 的自反闭包是 A A 上的关系 R′ R ′ ，使得 R′ R ′ 满足以下条件。

• R′ R ′ 是自反的
• R⊆R′ R ⊆ R ′
• 对 A A 上任何包含 R R 的自反关系 R′′ R ″ 有 R′⊆R′′ R ′ ⊆ R ″

记作 r(R) r ( R )

r(R)=R∪R0 r ( R ) = R ∪ R 0

2.5.2 对称闭包

设 R R 是非空集合 A A 上的关系， R R 的对称闭包是 A A 上的关系 R′ R ′ ，使得 R′ R ′ 满足以下条件。

• R′ R ′ 是对称的
• R⊆R′ R ⊆ R ′
• 对 A A 上任何包含 R R 的对称关系 R′′ R ″ 有 R′⊆R′′ R ′ ⊆ R ″

记作 s(R) s ( R )

s(R)=R∪R−1 s ( R ) = R ∪ R − 1

2.5.3 传递闭包

设 R R 是非空集合 A A 上的关系， R R 的传递闭包是 A A 上的关系 R′ R ′ ，使得 R′ R ′ 满足以下条件。

• R′ R ′ 是自反的
• R⊆R′ R ⊆ R ′
• 对 A A 上任何包含 R R 的传递关系 R′′ R ″ 有 R′⊆R′′ R ′ ⊆ R ″

记作 t(R) t ( R )

t(R)=R∪R2∪R3∪⋯ t ( R ) = R ∪ R 2 ∪ R 3 ∪ ⋯

2.6 等价关系与划分

2.6.1 等价关系

A A 上的自反、对称和传递的关系

2.6.2 等价类

2.6.2.1 定义

设 R R 为集合 A A 上的等价关系， x∈A,A x ∈ A , A 中与 x x 等价的元素构成的集合称为 x x 的等价类，记作 [x]R [ x ] R ，简记为 [x] [ x ] 或 x¯ x ¯ ,即 [x]R={ y|y∈A∧xRy} [ x ] R = { y | y ∈ A ∧ x R y }

2.6.2.2 性质

∀x∈A,[x] ∀ x ∈ A , [ x ] 是 A A 的非空子集

∀x,y∈A ∀ x , y ∈ A 若 xRy x R y ，则 [x]=[y] [ x ] = [ y ]

∀x,y∈A ∀ x , y ∈ A 若 x x 与 y y 不存在关系 R R ，则 [x]∩[y]=∅ [ x ] ∩ [ y ] = ∅

∪{ [x]|x∈A}=A ∪ { [ x ] | x ∈ A } = A

2.6.3 商集

设 R R 为 A A 上的等价关系，其等价类的集合 { [x]R|x∈A} { [ x ] R | x ∈ A } 称为 A A 关于 R R 的商集，记作 A/R A / R

2.6.4 划分

2.6.4.1 定义

设集合 π π 是 A A 的非空子集的集合，若这些非空子集两两不交，且它们的并等于 A A ，则称 π π 是集合 A A 的划分

2.6.4.2 等价关系与划分之间的一一对应

集合 A A 上的等价关系 R R 所确定的商集 A/R A / R 就是划分；反之，给定 A A 的划分 π π ，定义 A A 上的关系 R={<x,y>|x,y∈A且x,y在π的同一个划分块里} R = { < x , y > | x , y ∈ A 且 x , y 在 π 的 同 一 个 划 分 块 里 } ，则 R R 是 A A 上的等价关系

2.7 偏序关系

2.7.1 偏序关系

A A 上的自反、反对称和传递的关系

2.7.2 偏序集与全序集

2.7.2.1 偏序集

集合 A A 和 A A 上的偏序关系 ≼ ≼ 构成偏序集，记作

在偏序集中任取元素 x,y x , y 可能出现下述 4 4 种不同情况： x=y,x≺y,y≺x x = y , x ≺ y , y ≺ x x x 与 y y 不可比，即 x,y x , y 没有序的关系

2.7.2.2 覆盖

如果 x≺y x ≺ y ，且在 x,y x , y 之间没有其他元素 z z 使得 x≺z≺y x ≺ z ≺ y 成立，则称 y y 覆盖 x x

2.7.2.3 全序集（线序集）

如果在一个偏序集中任两个元素都可比，则称该偏序关系为全序关系或线序关系，相应的偏序集称为全序集或线序集

2.7.3 哈斯图

有穷偏序集可以用哈斯图来表示。在哈斯图中用结点表示 A A 中的元素，如果对于不同的结点 x x 和 y y ， x≺y x ≺ y ，那么 x x 画在 y y 的下方；如果 y y 覆盖 x x ，则在 x,y x , y 之间连一条线

2.7.4 特殊元素

设为偏序集， B B 是 A A 的子集，与 B B 相关的特殊元素有：

2.7.4.1 极大元

y∈B∧┐∃x(x∈B∧y≺x) y ∈ B ∧ ⌝ ∃ x ( x ∈ B ∧ y ≺ x )

2.7.4.2 极小元

y∈B∧┐∃x(x∈B∧x≺y) y ∈ B ∧ ⌝ ∃ x ( x ∈ B ∧ x ≺ y )

2.7.4.3 最大元

y∈B∧∀x(x∈B→x≼y) y ∈ B ∧ ∀ x ( x ∈ B → x ≼ y )

2.7.4.4 最小元

y∈B∧∀x(x∈B→y≼x) y ∈ B ∧ ∀ x ( x ∈ B → y ≼ x )

2.7.4.5 上界

y∈A∧∀x(x∈B→x≼y) y ∈ A ∧ ∀ x ( x ∈ B → x ≼ y )

2.7.4.6 下界

y∈A∧∀x(x∈B→y≼x) y ∈ A ∧ ∀ x ( x ∈ B → y ≼ x )

2.7.4.7 上确界（最小上界）

上界中的最小元

2.7.4.8 下确界（最大下界）

下界中的最大元

3 函数

3.1 函数的定义与性质

3.1.1 函数的基本概念

3.1.1.1 函数的定义

设 F F 为二元关系，若 ∀x∈domF ∀ x ∈ d o m F 都存在唯一的 y∈ranF y ∈ r a n F 使 xFy x F y 成立，则称 F F 为函数

对于函数 F F ，如果有 xFy x F y ，则记作 y=F(x) y = F ( x ) ，并称 y y 为 F F 在 x x 的值

3.1.1.2 从A到B的函数

设 A,B A , B 为集合，如果 f f 为函数，且 domf=A,ranf⊆B d o m f = A , r a n f ⊆ B ，则称 f f 为从 A A 到 B B 的函数，记作 f:A→B f : A → B

3.1.1.3 B上A

从 A A 到 B B 的全体函数的集合，即 BA={ f|f:A→B} B A = { f | f : A → B }

若 |B|=m,|A|=n | B | = m , | A | = n ，那么 |BA|=mn | B A | = m n

3.1.1.4 像

设 f:A→B,A1⊆A,f(A1)={ f(x)|x∈A1} f : A → B , A 1 ⊆ A , f ( A 1 ) = { f ( x ) | x ∈ A 1 } 称为 A1 A 1 在 f f 下的像。

f(A) f ( A ) 称为函数的像

3.1.1.5 完全原像

设 f:A→B,B1⊆B,f−1(B1)={ x|x∈A∧f(x)∈B1} f : A → B , B 1 ⊆ B , f − 1 ( B 1 ) = { x | x ∈ A ∧ f ( x ) ∈ B 1 } 称为 B1 B 1 在 f f 下的完全原像

一般来说，像与完全原像满足下述性质：

A1⊆f−1(f(A1)),f(f−1(B1))⊆B1 A 1 ⊆ f − 1 ( f ( A 1 ) ) , f ( f − 1 ( B 1 ) ) ⊆ B 1

3.1.2 函数的性质

3.1.2.1 满射

ranf=B r a n f = B

3.1.2.2 单射

∀x1∀x2(x1,x2∈A∧x1≠x2→f(x1)≠f(x2)) ∀ x 1 ∀ x 2 ( x 1 , x 2 ∈ A ∧ x 1 ≠ x 2 → f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) )

3.1.2.3 双射（一一映像）

f f 是单射的并且是满射的

3.1.3 特殊函数

3.1.3.1 常函数

3.1.3.2 恒等函数

3.1.3.3 单调函数

3.1.3.4 集合的特征函数

3.1.3.5 自然映射

3.2 函数的复合与反函数

3.2.1 函数的复合

3.2.1.1 定义

设 F,G F , G 是函数，则 F∘G F ∘ G 也是函数，且满足

dom(F∘G)={ x|x∈domF∧F(x)∈domG} d o m ( F ∘ G ) = { x | x ∈ d o m F ∧ F ( x ) ∈ d o m G }

∀x∈dom(F∘G),F∘G(x)=G(F(x)) ∀ x ∈ d o m ( F ∘ G ) , F ∘ G ( x ) = G ( F ( x ) )

3.2.1.2 定理

设 f:A→B,g:B→C f : A → B , g : B → C ，若 f,g f , g 都是满射（单射或者双射）的，则 f∘g:A→C f ∘ g : A → C 也是满射（单射或者双射）的

设 f:A→B f : A → B ，则有 f=f∘IB=IA∘f f = f ∘ I B = I A ∘ f

3.2.2 函数的反函数

3.2.2.1 定义

对于双射函数 f:A→B f : A → B ，称 f−1:B→A f − 1 : B → A 是它的反函数

3.2.2.2 定义

设 f:A→B f : A → B 是双射的，则 f−1:B→A f − 1 : B → A 也是双射的

设 f:A→B f : A → B 是双射的，则 f−1∘f=IB,f∘f−1=IA f − 1 ∘ f = I B , f ∘ f − 1 = I A

3.3 双射函数与集合的基数

3.3.1 集合的等势与优势

3.3.1.1 等势

3.3.1.1.1 等势的定义

设 A,B A , B 为集合，如果存在从 A A 到 B B 的双射函数，则称 A A 与 B B 等势，记作 A≈B A ≈ B

3.3.1.1.2 等势的性质

设 A,B,C A , B , C 是任意集合，则

A≈A,A≈B⇒B≈A,A≈B∧B≈C⇒A≈C A ≈ A , A ≈ B ⇒ B ≈ A , A ≈ B ∧ B ≈ C ⇒ A ≈ C

3.3.1.1.3 康托定理

自然数集 N N 与实数集 R R 不等势，集合 A A 与其幂集 P(A) P ( A ) 不等势

3.3.1.2 优势与真优势

3.3.1.2.1 定义

设 A,B A , B 为集合，如果存在从 A A 到 B B 的单射函数，则称 B B 优势于 A A ，记作 A≼⋅B A ≼ ⋅ B

若 A≼⋅B A ≼ ⋅ B 且 A A 与 B B 不等势，则称 B B 真优势于 A A ，记作 A≺⋅B A ≺ ⋅ B

3.3.1.2.2 性质

设 A,B,C A , B , C 是任意集合，则

A≼⋅A,A≼⋅B∧B≼⋅C⇒A≼⋅C，A≼⋅B∧B≼⋅A→A≈B A ≼ ⋅ A , A ≼ ⋅ B ∧ B ≼ ⋅ C ⇒ A ≼ ⋅ C ， A ≼ ⋅ B ∧ B ≼ ⋅ A → A ≈ B

3.3.1.3 关于等势与优势的重要结果

N≈Z≈Q≈N×N N ≈ Z ≈ Q ≈ N × N

R≈[a,b]≈(c,d)≈{ 0,1}N≈P(N) R ≈ [ a , b ] ≈ ( c , d ) ≈ { 0 , 1 } N ≈ P ( N )

{ 0,1}A≈P(A) { 0 , 1 } A ≈ P ( A )

N≺⋅R N ≺ ⋅ R

A≺⋅P(A) A ≺ ⋅ P ( A )

3.3.2 集合的基数

3.3.2.1 定义

集合 A A 的基数记作 cardA c a r d A

3.3.2.2 有穷集A的基数

与 A A 等势的唯一的自然数（也是 A A 中的元素个数），记作 |A| | A |

3.3.2.3 自然数集合的基数

ℵ0 ℵ 0 读作阿列夫零

3.3.2.3 实数集合的基数

ℵ ℵ 读作阿列夫

3.3.2.2 集合的基数就是集合的势

3.3.2.3 有穷基数与无穷基数

全体自然数是有穷集合的基数，也称作有穷基数

ℵ0,ℵ,⋯ ℵ 0 , ℵ , ⋯ 是无穷集合的基数，也称作无穷基数

3.3.2.4 可数集（可列集）

设 A A 为集合，若 cardA≤ℵ0 c a r d A ≤ ℵ 0 ，则称$A$为可数集或可列集