数字信号处理笔记——连续、离散信号的时频关系

数字信号处理笔记（一）

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主要知识：连续、离散信号的时频关系

适用对象：初学数字信号处理的同学以及考研备考的同学（尤其是目标院校是：南京理工大学）

重要程度：$★★★★$ (满5颗星)

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假设连续时间信号为$x_a(t)$ ,采样得到的信号为$x_s(t)$ ,对应的离散序列为$x[n]$ .

与之对应的频域分别为$X_a(j\Omega )$ ,$X_s(j\Omega )$ ,$X(e^{j\omega })$ .

满足采样定理的采样信号$x_s(t)$ 为：
$$\begin{array}{rl}{x}_s\left(t\right)& =x_a\left(t\right)\times {\delta }_T\left(t\right)\\ & =x_a\left(t\right)\times \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(t-nT\right)\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x}_a\left(nT\right)\delta \left(t-nT\right)\end{array}$$
将采样信号转化为离散序列，则$x[n]$ 为：
$$x\left[n\right]=x_a\left(nT\right)$$

注意：

$x_s(t)$ 与 $x[n]$ 在时域波形上的区别。$x_s(t)$ 由无数个冲激分量组成，而 $x[n]$ 由无数个离散分量组成。

接下来分析采样信号的频谱：
$$\begin{array}{rl}{X}_s\left(j\Omega \right)& =\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{x}_s\left(t\right)e^{-j\Omega t}dt\\ & =\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x}_a\left(nT\right)\delta \left(t-nT\right)\right]e^{-j\Omega t}\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x}_a\left(nT\right)\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\delta \left(t-nT\right)e^{-j\Omega t}dt\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x}_a\left(nT\right)e^{-j\Omega nT}\end{array}$$
对比序列 $x[n]$ 的频域表达式可得：
$$\begin{array}{rl}& X_s\left(j\Omega \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x}_a\left(nT\right)e^{-j\Omega nT}\\ & X\left(e^{jw}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x\left[n\right]e^{-jwn}\end{array}$$
二者的映射关系为：
$$\begin{array}{rl}& X_s\left(j\Omega \right)=X\left(e^{j\omega }\right)|{}_{\omega =\Omega T}\\ & X\left(e^{j\omega }\right)=X_s\left(j\Omega \right)|{}_{\Omega =\omega /T}\end{array}$$

即：序列 $x[n]$ 的傅氏变换是采样得到的信号 $x_s(t)$ 的傅氏变换在频率轴上的尺度变换：

​ $\omega =\Omega T$

注：此类考点曾在2021考研初试题目（南京理工大学818专业课）中涉及。