【ACWing】875. 快速幂

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/877/

给定$n$组$a_i,b_i,p_i$，对于每组数据求$a_i^{b_i}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_i$的值。

数据范围：
$1\le n\le 100000$
$1\le a_i,b_i,p_i\le 2\times 10^9$

思路是快速幂。它的本质是将$b$看成是二进制，然后通过计算$a^{2^x},x\ge 0$，来快速计算$a^b$。算出$b$的各个二进制位是容易的，而递推$a^{2^x},x\ge 0$也是容易的，同时$b$的所有二进制位的个数是$\log b$量级的，所以可以把复杂度降到$O(\log b)$。代码如下：

#include 
using namespace std;

int fast_pow(int a, int k, int p) {
     
    long res = 1;
    while (k) {
     
        if (k & 1) res = res * a % p;
        
        k >>= 1;
        a = (long) a * a % p;
    }

    return (int) res;
}

int main() {
     
    int n;
    cin >> n;

    while (n--) {
     
        int a, k, p;
        scanf("%d%d%d", &a, &k, &p);

        printf("%d\n", fast_pow(a, k, p));
    }

    return 0;
}

每次询问时间复杂度$O(\log b_i)$，空间$O(1)$。