【ACWing】876. 快速幂求逆元

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/878/

给定$n$组$a_i,p_i$，其中$p_i$是质数，求同余方程$a_{i}x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$的解。若无解则输出impossible。若有解则返回位于$1\sim p-1$的解。

数据范围：
$1\le n\le 10^5$
$1\le a_i,p_i\le 2\times 10^9$

其实是求$a$模$p$的逆元。如果$p|a$，那么$\forall x,p|ax$，则无解；否则，由费马小定理，$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，所以有$a{a}^{p-2}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，所以$a$的逆元就是$a^{p-2}$，那么其在$1\sim p-1$中的逆元就是$a^{p-2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$。而$a^{p-2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$可以用快速幂来做。代码如下：

#include 
using namespace std;

// 直接套用快速幂模板
int fast_pow(int a, int k, int p) {
     
    long res = 1;
    while (k) {
     
        if (k & 1) res = res * a % p;
        
        k >>= 1;
        a = (long) a * a % p;
    }

    return (int) res;
}

int main() {
     
    int n;
    cin >> n;

    while (n--) {
     
        int a, p;
        scanf("%d%d", &a, &p);
        
        int res = fast_pow(a, p - 2, p);
        if (a % p != 0) printf("%d\n", res);
        else printf("impossible\n");
    }

    return 0;
}

每次询问时间复杂度$O(\log p_i)$，空间$O(1)$。