【学习笔记】拉格朗日反演

0.吐槽

有些文章讲的还没有百度百科好。

1.概述

（这一段很重要啊，不然真的搞不懂在反演什么。结果百度百科说得最清楚。）

对于原函数 $y=f(x)$ ，我们想求一个 反向映射 $g(y)=x$ ，从图像来看，二者关于直线 $y=x$ 对称。

形式化的，对于 $f(x)$ ，其复合逆函数 $g(x)=f^{-1}(x)$ 满足
$$g[f(x)]=x$$

注：也有人写成 $f[g(x)]=x$ ，二者是等价的。因为 $g[f(x)]=x\Rightarrow f\{g[f(x)]\}=f(x)\Rightarrow f[g(x)]=x$ 。

2.怎么求

这个就可以看专业文献了。不过，为了保证反演法可行，它强调了 $f(x),g(x)$ 只含有 $x$ 的正整数次幂（所以没有常数）。按照我的个人习惯，用 $[[x^k]]f(x)$ 表示 $f(x)$ 中 $x^k$ 的系数。先写结论
$$[[x^n]]f^{-1}(x)=\frac{1}{n}[[x^{-1}]]\frac{1}{f(x{)}^n}=\frac{1}{n}[[x^{n-1}]]\frac{x^n}{f(x{)}^n}$$

注：原文写的是，若 $f(x)=\frac{x}{\varphi (x)}$ 则 $[[x^n]]f^{-1}(x)=\frac{1}{n}[[x^{n-1}]]\varphi (x{)}^n$ ，我不太明白这与 $\varphi (x)=\frac{x}{f(x)}$ 的区别……

证明其实并不难，只要你用心看。首先，设 $g(x)=f^{-1}(x)={\sum }_{i=1}^{+\infty }{b}_i{x}^i$ 。其次，根据定义有 $g[f(x)]=x$ 。左边展开得
$$\sum _{i=1}^{+\infty }{b}_{i}f(x{)}^i=x$$

两边同时以 $x$ 为自变量求导，
$$\sum _{i=1}^{+\infty }i{b}_{i}f(x{)}^{i-1}{f}^{\prime }(x)=1$$

两边同时除以 $f(x{)}^n$ 有
$$\sum _{i=1}^{+\infty }i{b}_{i}f(x{)}^{i-n-1}{f}^{\prime }(x)=\frac{1}{f(x{)}^n}$$

左边可以 脱水缩合 去掉 $f^{\prime }(x)$ 而写成
$$n{b}_n\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}+\sum _{i\ge 1}^{i\ne n}\frac{i\cdot b_i}{i-n}{\left[f(x{)}^{i-n}\right]}^{\prime }=\frac{1}{f(x{)}^n}$$

考虑两边同时取 $[[x^{-1}]]$ 因为 $f(x{)}^{i-n}$ 是形式幂级数，而形式幂级数求导不会得到 $x^{-1}$ 的项。注：我没学过抽象代数，所以有一个概念不是很懂，导致这里始终学不懂。我把我的揣测写在了最后。
$$n{b}_n[[x^{-1}]]\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=[[x^{-1}]]\frac{1}{f(x{)}^n}$$

不妨设 $f(x)={\sum }_{i=1}^{+\infty }{a}_i{x}^i$ ，手算一下这个分数的值，
$$\begin{array}{rl}\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}& =\frac{{\sum }_{i=1}^{+\infty }i{a}_i{x}^{i-1}}{{\sum }_{i=1}^{+\infty }{a}_i{x}^i}\\ & =\frac{{\sum }_{i=1}^{+\infty }i{a}_i{x}^{i-1}}{a_{1}x}\times \frac{1}{1+{\sum }_{i=2}^{+\infty }\frac{a_i}{a_1}{x}^{i-1}}\\ & =\left(x^{-1}+\sum _{i=2}^{+\infty }\frac{i{a}_i}{a_1}{x}^{i-2}\right)\frac{1}{1+\lambda (x)}\\ & =[x^{-1}+\gamma (x)]\left[1+\sum _{i=1}^{+\infty }(-1{)}^i\lambda (x{)}^i\right]\end{array}$$

这里用 $\gamma (x)$ 和 $\lambda (x)$ 代替了两个形式幂级数。不要紧，毕竟二者不可能给 $x^{-1}$ 作贡献。所以
$$[[x^{-1}]]\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=1$$

进而
$$b_n=\frac{1}{n}[[x^{-1}]]\frac{1}{f(x{)}^n}$$

这与开头的「结论」的式子是等价的。

${}^{\ast }$不知道这一点是不是对的：形式幂级数允许 $x^{-k}$ 出现，不允许 $\frac{1}{\lambda (x{)}^k}(k\in {\mathbb{N}}^{+})$ 出现，其中 $\lambda (x)$ 为多项式（非单个 $x$ 的次幂）。

3.拓展

若 $h(0)=0$ 则
$$[[x^n]]h[g(x)]=\frac{1}{n}[[x^{-1}]]\frac{h^{\prime }(x)}{f(x{)}^n}$$

其中 $g(x)=f^{-1}(x)$ 即二者互为复合逆。