基于嵌入莱维飞行的灰狼优化(LGWO)算法的函数寻优算法

一、理论基础

受狼群猎食行为的启发，Mirjalili等提出了灰狼优化算法(Grey Wolf Optimization，GWO)，该算法由于控制参数较少，因此实现方便。灰狼优化算法模拟灰狼的社会等级制度和猎食行为，视灰狼为猎食者顶端，即处于食物链最上层。GWO算法建立了一个模型：狼群中每一个灰狼代表了种群的一个潜在解，其中领导狼群的$\alpha$狼位置是最好的解，处于狼群等级第二阶层的$\beta$狼位置和负责侦察、警戒、打围以及看守的$\delta$狼位置分别为优解和次优解，其他的候选解是阶层较低的$\omega$狼位置。GWO算法包括如下三个步骤。

1、种群初始化

由于GWO的性能受种群初始值影响较小，因此在该算法中采用随机产生种群的方法，即：$$X_{i,j}\sim U(l{b}_j,u{b}_j)\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，$X$为灰狼种群，$i\in \{1,2,3\dots ,N\}$且$j\in \{1,2,3\dots ,sizepop\}$，$N$是灰狼种群个数，$sizepop$是种群维数；$lb$和$ub$分别为搜索区间的下界和上界；$Ｕ$是随机均匀分布函数。

2、种群搜索

通过公式(2)和公式(3)搜索接近猎物：$$\mathbf{D}=|\mathbf{C}\cdot {\mathbf{X}}_p(\mathbf{t})-\mathbf{X}(\mathbf{t})|\text{\hspace{1em}(2)}$$$$\mathbf{X}(t+1)={\mathbf{X}}_p(t)-\mathbf{A}\cdot \mathbf{D}\text{\hspace{1em}(3)}$$其中，$\mathbf{D}$为猎物与灰狼之间的距离；$t$为迭代的次数；$\mathbf{C}$和$\mathbf{A}$为系数向量；$\mathbf{X}$和${\mathbf{X}}_p$为灰狼位置向量和猎物位置向量。
向量$\mathbf{A}$和$\mathbf{C}$的计算公式如下：$$\mathbf{A}=2\cdot \mathbf{a}\cdot {\mathbf{r}}_1-\mathbf{a}\text{\hspace{1em}(4)}$$$$\mathbf{C}=2\cdot {\mathbf{r}}_2\text{\hspace{1em}(5)}$$其中，$r_1$和$r_2$是在$[0,1]$范围内的随机数。一般情况，$\mathbf{a}$控制参数在$[0,2]$范围内取值，且随着算法迭代次数的增加而线性递减。对应于公式(3)，$|\mathbf{A}|\ge 1$意味着灰狼进行全局搜索， $|\mathbf{A}|＜1$表示灰狼进行局部搜索。

3、种群位置更新

通过计算灰狼优化算法的目标函数值，得到最优解、优解和次优解设置为$\alpha$狼、$\beta$狼和$\delta$狼，其他灰狼的位置由$\alpha$狼、$\beta$狼和$\delta$狼的位置共同决定，如公式(6)~公式(8)所示。在产生新群体后，对种群中的元素进行边界控制，完成一次迭代。重复上述过程，直到满足算法终止条件，最后输出最优解。$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{D}}_{\alpha }=|{\mathbf{C}}_1\cdot {\mathbf{X}}_{\alpha }-\mathbf{X}|\\ {\mathbf{D}}_{\beta }=|{\mathbf{C}}_2\cdot {\mathbf{X}}_{\beta }-\mathbf{X}|\\ {\mathbf{D}}_{\delta }=|{\mathbf{C}}_3\cdot {\mathbf{X}}_{\delta }-\mathbf{X}|\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{X}}_1={\mathbf{X}}_{\alpha }-{\mathbf{A}}_1\cdot {\mathbf{D}}_{\alpha }\\ {\mathbf{X}}_2={\mathbf{X}}_{\beta }-{\mathbf{A}}_2\cdot {\mathbf{D}}_{\beta }\\ {\mathbf{X}}_3={\mathbf{X}}_{\delta }-{\mathbf{A}}_3\cdot {\mathbf{D}}_{\delta }\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$$$\mathbf{X}(t+1)=\frac{{\mathbf{X}}_1+{\mathbf{X}}_2+{\mathbf{X}}_3}{3}\text{\hspace{1em}(8)}$$

4、嵌入莱维飞行的灰狼优化算法

灰狼优化（Gray Wolf Optimization , GWO）算法具有不过分依赖参数设置和方便实现等优点，但GWO算法在解决复杂优化问题时仍然容易过早陷入局部极值，即出现早熟收敛的现象。为解决上述问题，Heidari提出了LGWO算法。LGWO算法对于GWO算法主要进行了三个方面的改进：

1. $\delta$狼在种群中的作用被其他狼代替，即LGWO算法中只包括$\alpha$狼，$\beta$狼和$\omega$狼；
2. 通过莱维飞行改进GWO算法；
3. 将贪婪搜索策略应用到经莱维飞行改进的GWO算法中。

LGWO算法的具体过程总结如下，并通过LGWO算法的伪代码如图1所示，描述如下：
（1）种群初始化，其过程同GWO算法一致。
（2）种群搜索，其过程同GWO算法一致。
（3）通过计算LGWO算法的目标函数值，得到最优解$\alpha$狼、优解$\beta$狼，其他灰狼的位置由$\alpha$狼和$\beta$狼的位置共同决定，如公式(9)所示：$$\mathbf{X}(t+1)=\{\begin{array}{l}0.5\times \left({\mathbf{X}}_{\alpha }-{\mathbf{A}}_1{\mathbf{D}}_{\alpha }+{\mathbf{X}}_{\beta }-{\mathbf{A}}_2{\mathbf{D}}_{\beta }\right)+\alpha \oplus Levi(\beta )|\mathbf{A}|\ge 0.5\\ 0.5\times \left({\mathbf{X}}_{\alpha }-{\mathbf{A}}_1{\mathbf{D}}_{\alpha }+{\mathbf{X}}_{\beta }-{\mathbf{A}}_2{\mathbf{D}}_{\beta }\right)|\mathbf{A}|<0.5\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$其中，$$\alpha \oplus Levi(\beta )\sim 0.01\frac{u}{v^{-\beta }}(\mathbf{X}(t)-{\mathbf{X}}^{\alpha }(t))\text{\hspace{1em}(10)}$$其中，$u$和$v$服从正态分布：$$u\sim N(0,{\sigma }_u^2),v\sim N(0,{\sigma }_v^2)\text{\hspace{1em}(11)}$$$${\sigma }_u={\left[\frac{\Gamma (1+\beta )sin(\frac{\pi \beta }{2})}{\Gamma (\frac{1+\beta }{2})\beta \times 2^{\frac{\beta -1}{2}}}\right]}^{\frac{1}{\beta }},{\sigma }_v=1\text{\hspace{1em}(12)}$$在Heidari提出的LGWO算法中，参数$\beta$是$[0,2]$的随机数。
在保留前一代解，通过公式(9)产生新群体后记为${\mathbf{X}}_{new}(t)$，通过贪婪选择策略公式(13)进行选择判断是否保留更新后的灰狼，完成一次迭代。重复上述过程，直到满足算法终止条件，最后输出最优解。$$\mathbf{X}(t+1)=\{\begin{array}{l}\mathbf{X}(t),f({\mathbf{X}}_{new}(t))>f(\mathbf{X}(t))and{r}_{new}<p\\ {\mathbf{X}}_{new}(t),otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$贪婪选择(GS)策略中使用“适者生存”的概念，通过用概率$p$体现。根据这一策略，新的一次迭代中位置更优的狼可以使种群更加丰富，而新的一次迭代中位置更糟的狼则被忽视。其中$r_{new}$和$p$是$[0,1]$的随机数。通过应用贪婪选择策略，LGWO算法有更好的随机性。同时应用贪婪选择使每次迭代获得的更优位置的狼得以保留，因此LGWO算法拥有更强的搜索能力。

二、MATLAB程序实现