【C++】算法集锦（9）：背包问题

本来要拿《背包九讲》作为参考的，奈何太抽象，我看不懂

0-1背包问题

给你一个载重量为 W 的背包，以及一堆物品，这些物品都有属于自己的两个属性：价值var和质量wt，试问这个背包最多能装多少价值的物品。

这里面的每一个物品，要么装，要么不装。

看到这个图，第一反应是不是：性价比比一下。如果是这样想的朋友可以停下来了，性价比不行。
如果只有两个物品，一个4Kg，值8￥；一个15Kg，值10￥；很明显前面那个性价比高，但是显然我们要选的是后面这个。

这种题目，实在让人很懵逼，就好像千头万绪，但是所有思路都被自己给否定了。

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动态规划标准套路

1、明确状态和选择
什么是状态，就是背包的容量，以及可以选择的物体。
什么是选择，这个物品，要不要放进背包。

2、明确dp数组
刚刚说到有两个状态，所以我们选用一个二维数组：dp[i][w]：对于前 i 个物体，在背包容量为w的时候，可以装的最大价值是dp[i][w]。
例：dp[3][5] = 6:对于前三个物体做选择，在背包容量为5的时候，可以选择的最大价值为6。

根据定义，我们的最终目标可以设为 dp[N][M]，
base case 就是dp[0][···] = 0，dp[···][0] = 0，没有物品或者背包没有空间的时候，能装的最大价值就是0。

3、状态转移方程
对第i件物品来说，无非就是选中了，和没选中嘛。
那么，

如果选中了：d[i][w] = d[i-1][w-wt[i-1]]+var[i]
如果没选中：d[i][w] = d[i-1][w]

什么情况下要选？什么情况下不选呢？
那当然是哪个有利就选哪个嘛。

所以，伪代码怎么写？

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伪代码

int dp[N+1][W+1]
dp[0][···] = 0
dp[···][0] = 0

for i in range(1,N)：
	for w in range(1,w):
		dp[i][w] = max(装，不装)	
		//装不装的状态转移已经在上面了

return dp[N][W]

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修缮代码

int knaspsack(int W,int N,vector<int>& wt,vector<int>& val){
     
	vector<vector<int>> dp(N+1,vector<int>(W+1,0));
	
	for(int i = 1;i <= N; i++){
     
		for(int w = 1;w <= W; w++){
     
			if(w-wt[i-1]<0)	//没空间了
				dp[i][w] = dp[i-1][w];
			else
				dp[i][w] = max(d[i-1][w-wt[i-1]]+var[i],dp[i-1][w]);
		}
	}
	return dp[N][W];
}

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子集背包问题

给你一个只包含正整数的数组，设计一个算法，将这个数组分为两个元素和相等的子集，如果能分，返回true，如果不能分，返回false。
这个问题怎么转化为背包为题呢？

首先，对这个数组计数，如果和是奇数，就返回-1吧，如果和是偶数，就除于二，记为n。
这个问题就转变为：从数组中找出一些数，使得它们的和恰好等于n。

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其实看了这个题目，最直接的想法就是逆序排序之后用回溯

思路分析

状态和选择已经很明确了吧。
dp数组的含义嘛，dp[i][j] = x 表示，对于前 i 个物品，当前背包容量为 j 的时候，正好能将背包装满，则x为true，否则为false、
做一下状态压缩，把[i]去掉，反正i也是用来循环的。

如果不把 nums[i] 装入子集，则能够恰好装满背包，取决于上一个状态 dp[i-1][j]，继承之前的结果。
如果把 nums[i] 装入子集，则能否恰好装满背包，取决于状态 dp[i-1][j-nums[i-1]]。

代码实现

bool canPartition(vector<int>& nums) {
     
    int sum = 0, n = nums.size();
    for (int num : nums) sum += num;
    if (sum % 2 != 0) return false;
    sum = sum / 2;
    vector<bool> dp(sum + 1, false);
    // base case
    dp[0] = true;

    for (int i = 0; i < n; i++) 
        for (int j = sum; j >= 0; j--) 
            if (j - nums[i] >= 0) 
                dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];

    return dp[sum];
}

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完全背包问题

换零钱问题：给定不同面额的硬币（coins），和一个总金额（amount）,写一个函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无数个。

说真的，我都快受不了了，是回溯不好用了吗？

来我画个图：
比方说现在，有1、2、5三种面值的硬币，总目标为10吧。

是吧，是回溯吧，这个我画的决策树可能是丑了点（我看得出来），将就着理解一下吧。