四、假设检验

假设检验的基本原理

一、假设的陈述

假设：对总体参数的具体数值所做的陈述。
假设检验：先对总体参数提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程。
零假设：通常将研究者想收集证据予以反对的假设称为原假设（零假设）用h0表示。
备择假设：通常将研究者想收集证据予以支持的假设称为备择假设（研究假设）用h1表示。
eg:
　　一种零件的标准是直径10cm,对生产过程进行控制，确定这台机床生产是否的零件是否符合标准要求。进行调整，陈述用检验生产过程是否正常的原假设和备择假设？
　　h0:μ=10（生产过程正常） 反对
　　h1:μ≠10（生产过程不正常）支持
　　
建立假设的几点认识：
　　①原假设和备择假设必有一个成立，而且只有一个成立；
　　②通常先确定备择假设，再确定零假设，因为备择假设是我们关心的；
　　③在假设检验中，等号总是放在原假设上，为数学表述上的方便，我们将与H1对立的所有可能情况放进了只含一个符号的原假设之中；
　　④具有方向性的假设 称为单侧假设（单尾检验），没有方向性，假设称为双侧假设（双尾假设）；
单侧假设（单尾假设）：备择假设具有特定的方向性，并含有符号 ‘>’ 或 ‘<’ 的假设检验。
双侧检验（双尾检验）：备择假设没有特定的方向性，并含有符号 ‘≠’ 的假设检验。

假设检验的基本形式：

假设	双侧检验	单侧检验
		左侧检验	右侧检验
原假设	H0：μ=μ0	H0：μ≥μ0	H0：μ≤μ0
备择假设	H1：μ≠μ0	H1：μ<μ0	H1：μ>μ0

二、两类错误与显著水平

假设检验的目的是根据样本信息做出决策，也就是作出吃否拒绝原假设而倾向于备择假设的决策。因为原假设和备择假设不能同时成立。
第I类错误（弃真假设）：当原假设为真时，拒绝原假设 【α】。
第II类错误（取伪假设）：当原假设为假时没有拒绝原假设 【β】 。

决策结果	实际情况
	H0为真	H0为假
未拒绝H0	正确决策	第II类错误β
拒绝H0	第I类错误α	正确决策

注意：只有原假设被拒绝时，才会犯第I类错误；当原假设未被拒绝时，会犯第II类错误。由于犯第I类错误的概率是由研究者控制的，因此在假设检验中，往往控制第I类错误的发生概率。发生第I类错误的概率也常被用于检验结论的可靠性，并将这一概率称为显著性水平。
　　
显著性水平：假设检验中犯的第I类错误的概率。【α】
显著性水平是事先指定的犯第I类错误的概率α的最大允许值。犯第I类错误的后果更严重，因此α会取值比较小。通常选择显著性水平为0.05或比0.05更小的概率。通常α=0.01、α=0.05、α=0.1等。

在确定显著性水平α就等于控制了第I类错误的概率，但是第II类错误的概率β不确定。因此，在假设检验中我们采用“不拒绝H0”,避免第II类错误的发生风险。

三、检验统计量与拒绝域

提出具体假设后，研究者需要提供可靠的证据来支持所提出的备择假设。信息主要来自所取得样本，检验统计量便于对样本信息进行压缩和概括。

检验统计量：根据样本观测结果计算得到的，并据以对原假设和备择假设作出决策的某个样本统计量。
　　检验统计量实际是总体参数的点估计量（样本均值就是总体均值的一个点估计量），将点估计量标准化后，才能用与度量它与原假设的参数值之间的差异程度，对点估计量标准化的依据是：①原假设为H0为真②点估计量的抽样分布。标准化检验统计量简称为检验统计量。
标准化的检验统计量可表示：
标准化的检验统计量=点估计量—假设值/点估计量的抽样标准差

拒绝域：能够拒绝原假设的检验统计量的所有可能取值的集合。
　　拒绝域就是显著性水平α所围成的区域。样本观测结果数值落在拒绝域内，就拒绝原假设。拒绝域的大小与选定的显著水平有一定关系，确定显著性水平α后，根据α确定拒绝域的具体边界值，拒绝与的边界值称为临界值。
临界值：根据给定的显著性水平确定的拒绝与的边界值。
　　根据给定的α，得到临界值 。将检验统计量的值与临界值进行比较，作出是否拒绝原假设的决策。当样本固定，拒绝域的未知则取决于检验是单侧检验还是双侧检验。双侧检验的拒绝域在抽样分布的两侧；备择假设具有符号‘<’，拒绝域位于抽样分布的左侧，称为左侧检验；备择假设有符号‘>’，则拒绝域位于抽样分布的右侧，称右侧检验。　在给定显著性水平α条件下，拒绝域与临界值如下图：

四、利用P值进行决策

显著性水平α是在检验之前确定的，也就是确定了拒绝域，不论检验统计量的值是大小，如果落在拒绝域就拒绝原假设H0，由于α是犯第I类错误的上线控制值，只是个可靠性的大致范围，无法给出精确度量。要测量出样本观测数据与原假设中假设的值μ0的偏离程度，则需要计算P值。
P值（观察到的显著性水平）：在原假设为真的条件下，检验统计量的观察值大于或等于其值的概率。
　　P值反应时间观测到的数据与原假设H0之间不一致程度的一个概率值。P值越小，说明实际观测到的数据与H0之间不一致的程度越大，检验的结果也就越显著。

P值是当原假设正确时，得到的所观测数据的概率。
P值进行决策方法简单，与α进行比较，可判断是否拒绝原假设。不论是单双检测，用P值进行决策的准则都是：P值<α，拒绝H0;P值>α，不拒绝H0。
　　利用统计量根据显著性水平作出决策，如果我们拒绝原假设，也仅仅是知道犯错误的可能性是α那么大，而P值则是犯错误的实际概率。

总体均值的检验

一、大样本的检验方法

假设检验的重要一步是 确定适当的检验统计量，大样本情况下，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，抽样标准差是σ/√n。
　　eg:一种饮料，每罐的容量是255ml，标准差为5ml,为检验每罐容量是否符合要求，质检人员随机抽取40罐进行检测，测得每罐的平均容量为255.8ml。取显著性水平α=0.05，检验是否符合标准。
　　H0：μ=255
　　H1：μ≠255
计算检验统计量的具体数值：
z=(255.8-255)/5√40=1.01
检验统计量的含义：样本均值与检验的总体均值相比，相差1.01个抽样标准差。
双侧检验取值： zα/2 单侧检验取值： zα
　　α=0.05 zα/2=z0.025=1.96.由于|z|=1.01

用P值检验
　　Excel NORM.S.DIST 函数，将z的绝对值1.01录入，得到结果0.844，
双侧检验P值：2（1-P值） 单侧检验P值：1-P值*
z=1.01 双侧检验最后的P值为：p=2*(1-0.844)=0.312 > α=0.05 不拒绝H0,检验结果表明:没有证据表明生产的饮料不符合标准要求。

二、小样本的检验方法

检测与大样本总体均值检测一样，区分大样本，小样本，是因为大样本的统计量用正态分布，小样本用t分布。

总体比例的检验

总结：
　　两种情形：①大样本条件下，总体均值的检验采用正态分布统计量，②小样本，总体均值的检验采用t分布统计量。不论是总体均值的检验还是比例检验，除了利用计算检验外，可之间用P值进行检验。