原本做大数乘法的时候是想偷懒的, 就百度了下大数 A * B 的代码, 无意中发现有使用FFT的做法, 于是便开始了学习 (受苦) , 本文用以记录仅在算法应用层面上我对FFT的理解和一个手搓的大数乘法模版.
需要一定的复数知识, 但不多.
笔者对FFT的理解较为粗浅, 因此在下文可能大量略过某些部分的详细证明, 请见谅!
快速傅里叶变换( Fast Fourier Transform ), 是一种对离散傅里叶变换( Discrete Fourier Transform )的优化, 可令离散傅里叶变换的运算量大大降低, 在取样点数量较多的情况下可显著提升效率
实际上, FFT可以大大提升卷积1的计算效率, 而当卷积的两个函数为多项式的时候, FFT则能在多项式乘法上大显神威.
关于乘法, 朴素的算法则是模拟我们自小学会的竖式乘法, 不难证明这样的算法的复杂度为O(n2), 然而这样的算法不仅容易精度溢出, 效率也不够高, 应用FFT则可以使算法的复杂度降低至O(nlogn).
观察一个数字, 如123456, 换种角度思考, 可以将其转化为以下的式子: 123456 = 1 ∗ 1 0 5 + 2 ∗ 1 0 4 + 3 ∗ 1 0 3 + 4 ∗ 1 0 2 + 5 ∗ 1 0 1 + 6 ∗ 1 0 0 123456 = 1 *10^5+2*10^4+3*10^3+4*10^2+5*10^1+6*10^0 123456=1∗105+2∗104+3∗103+4∗102+5∗101+6∗100再转化一次, 令x = 10, 则可以得到: 1 ∗ x 5 + 2 ∗ x 4 + 3 ∗ x 3 + 4 ∗ x 2 + 5 ∗ x 1 + 6 ∗ x 0 1 *x^5+2*x^4+3*x^3+4*x^2+5*x^1+6*x^0 1∗x5+2∗x4+3∗x3+4∗x2+5∗x1+6∗x0
从这个角度思考, 大数乘法不正是x = 10的情况下的多项式乘法吗?
PS:强烈建议您通过这个视频进行学习并在需要的情况下结合下文理解, 个人认为这个视频讲得相当易懂
任取一个n-1阶2 多项式, 将其表示为 a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n − 1 x n − 1 a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1} a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1实际上我们已经得到了它的系数表示, 即 [ a 0 a 1 a 2 . . . a n − 1 ] \left[ \begin{array}{l} a_0&a_1&a_2&...&a_{n-1} \end{array} \right] [a0a1a2...an−1]
那么什么是它的点值表示法呢?
对一个多项式 f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n − 1 x n − 1 f(x)= a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1} f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1任取不小于n个xi带入并计算得到f(xi)即为其点值表示法:
{ ( x 0 , f ( x 0 ) , ( x 1 , f ( x 1 ) , … , ( x n − 1 , f ( x n − 1 ) } \left\{ (x_0,f(x_0),(x_1,f(x_1), \dots,(x_{n-1},f(x_{n-1}) \right\} { (x0,f(x0),(x1,f(x1),…,(xn−1,f(xn−1)}
将其化为矩阵形式, 有
[ f ( x 1 ) f ( x 2 ) ⋮ f ( x − 1 ) ] = [ 1 x 0 x 0 2 … x 0 n − 1 1 x 1 x 1 2 … x 1 n − 1 … … … ⋮ … 1 x n − 1 x n − 1 2 … x n − 1 n − 1 ] [ a 0 a 1 ⋮ a n − 1 ] \left[ \begin{array}{l} f(x_1)\\ f(x_2)\\ \vdots \\ f(x-1) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&\dots&x_{0}^{n-1}\\ 1&x_1&x_1^2&\dots&x_{1}^{n-1}\\ \dots&\dots&\dots&\vdots&\dots\\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&\dots&x_{n-1}^{n-1} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} a_0\\ a_1\\ \vdots \\ a_{n-1} \end{array} \right] ⎣⎢⎢⎢⎡f(x1)f(x2)⋮f(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡a0a1⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎤
PS:从 系数表示法 得到 点值表示法 的这一步即为DFT(离散傅里叶变换)
由范德蒙德行列式易证得当x0 ~ xn-1互不相同时矩阵可逆, 即当所取的xi不小于矩阵的阶加一时, 点值表示法和系数表示法一一对应.
令 h ( x ) = f ( x ) g ( x ) h(x)=f(x)g(x) h(x)=f(x)g(x)
在点值表示法的基础上, 要计算h(x)的表达式, 只需要取相同的xi得出f(xi)和g(xi)并相乘, 再从(xi ,f(xi)g(xi))的点值表示法转换成系数表示法即可得到h(x)的值.
那么如何从点值表示法转换成系数表示法呢? 仔细观察上面的矩阵表达式不难得出:
{ ( x 0 , f ( x 0 ) , ( x 1 , f ( x 1 ) , … , ( x n − 1 , f ( x n − 1 ) } \left\{ (x_0,f(x_0),(x_1,f(x_1), \dots,(x_{n-1},f(x_{n-1}) \right\} { (x0,f(x0),(x1,f(x1),…,(xn−1,f(xn−1)}
将其化为矩阵形式, 有
[ a 0 a 1 ⋮ a n − 1 ] = [ 1 x 0 x 0 2 … x 0 n − 1 1 x 1 x 1 2 … x 1 n − 1 … … … ⋮ … 1 x n − 1 x n − 1 2 … x n − 1 n − 1 ] − 1 [ f ( x 1 ) f ( x 2 ) ⋮ f ( x − 1 ) ] \left[ \begin{array}{l} a_0\\ a_1\\ \vdots \\ a_{n-1} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&\dots&x_{0}^{n-1}\\ 1&x_1&x_1^2&\dots&x_{1}^{n-1}\\ \dots&\dots&\dots&\vdots&\dots\\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&\dots&x_{n-1}^{n-1} \end{array} \right]^{-1} \left[ \begin{array}{l} f(x_1)\\ f(x_2)\\ \vdots \\ f(x-1) \end{array} \right] ⎣⎢⎢⎢⎡a0a1⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎢⎡f(x1)f(x2)⋮f(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤
PS:从 点值表示法 得到 系数表示法 的这一步即为Inverse DFT(逆离散傅里叶变换)
对上述的DFT过程, 一个通常的想法是在x轴上随便挑几个点代入计算, 比如说x0= 0, x1 = 1, …然而这样做的话又重新掉入了O(n2)的窠臼之中, 我们依旧需要对n个甚至以上的点计算n次, 而要探讨FFT的做法, 让我们先着眼于两个简单的多项式
P 1 = x 2 P_1=x^2 P1=x2
因为这是一个偶函数, 当我们确定f(xi)时通过偶函数的性质可以立刻确定f(-xi) = f(xi), 这样我们任取一个点, 立刻就可以确定其相反数的函数值了.
而对于
P 2 = x 3 P_2= x^3 P2=x3
和P1不同, 这是个奇函数, 因此f(-xi) = -f(xi).
据此, 我们不妨将一个一般的多项式(设n为偶数)分解为奇函数的部分和偶函数的部分, 再从奇函数部分提取一个x:
P ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n − 1 x n − 1 令 P e ( x ) = a 0 + a 2 x 2 + . . . + a n − 2 x n − 2 , P o ( x ) = a 1 + a 3 x 2 + . . . + a n − 1 x n − 2 则 P ( x i ) = P e ( x i ) + x i P o ( x i ) , P ( − x i ) = P e ( x i ) − x i P o ( x i ) P(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}\\ 令P_e(x) = a_0+ a_2x^2+...+a_{n-2}x^{n-2} , P_o(x) = a_1+a_3x^2+...+a_{n-1}x^{n-2}\\ 则P(x_i)=P_e(x_i)+x_iP_o(x_i), \\P(-x_i)=P_e(x_i)-x_iP_o(x_i) P(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1令Pe(x)=a0+a2x2+...+an−2xn−2,Po(x)=a1+a3x2+...+an−1xn−2则P(xi)=Pe(xi)+xiPo(xi),P(−xi)=Pe(xi)−xiPo(xi)
若令 p = x2, 则Pe(x)和Po(x)则简化为以下式子:
P e ( x ) = a 0 + a 2 x 2 + . . . + a n − 2 x n − 2 P o ( x ) = a 1 + a 3 x 2 + . . . + a n − 1 x n − 2 ⇕ 令 p = x 2 P e ( p ) = a 0 + a 2 p + . . . + a n − 2 p n − 2 2 P o ( p ) = a 1 + a 3 p + . . . + a n − 1 p n − 2 2 P_e(x) = a_0+ a_2x^2+...+a_{n-2}x^{n-2}\\ P_o(x) = a_1+a_3x^2+...+a_{n-1}x^{n-2}\\ \Updownarrow 令p=x^2\\ P_e(p) = a_0 + a_2p+...+a_{n-2}p^{\frac{n-2}{2}}\\ P_o(p) = a_1 + a_3p+...+a_{n-1}p^{\frac{n-2}{2}}\\ Pe(x)=a0+a2x2+...+an−2xn−2Po(x)=a1+a3x2+...+an−1xn−2⇕令p=x2Pe(p)=a0+a2p+...+an−2p2n−2Po(p)=a1+a3p+...+an−1p2n−2
如果此时将Pe和Po视为新的式子, 重复上述操作则可将Pe和Po继续降阶直到Pe和Po的式子的阶降至0, 那么此时Pe和Po的值便为常数a0和a1.
以多项式P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x2为例, DFT过程需要构造4个根x1, x2, x3, x4并带入求值, 以上述方法降阶则有:
第一步:
P 0 ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 ⇕ 令 t = x 2 P e 0 ( t ) = a 0 + a 2 t P o 0 ( t ) = a 1 + a 3 t P 0 ( x i ) = P e 0 ( x i 2 ) + x i P o 0 ( x i 2 ) , P 0 ( − x i ) = P e 0 ( x i 2 ) − x i P o 0 ( x i 2 ) P_0(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\\ \Updownarrow令t = x^2\\ P_{e0}(t) = a_0+a_2t\\ P_{o0}(t)= a_1 + a_3t\\\\ P_0(x_i)=P_{e0}(x_i^2)+x_iP_{o0}(x_i^2), \\P_0(-x_i)=P_{e0}(x_i^2)-x_iP_{o0}(x_i^2) P0(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3⇕令t=x2Pe0(t)=a0+a2tPo0(t)=a1+a3tP0(xi)=Pe0(xi2)+xiPo0(xi2),P0(−xi)=Pe0(xi2)−xiPo0(xi2)
第二步:
令 P 1 = P e 0 ( t ) = a 0 + a 2 t , 令 P 2 = P o 0 ( t ) = a 1 + a 3 t , 则 P e 1 ( t ) = a 0 , 则 P e 2 ( t ) = a 1 , P o 1 ( t ) = a 2 P e 2 ( t ) = a 3 P 1 ( x i 2 ) = P e 1 ( x i 2 ) + x i 2 P o 1 ( x i 2 ) = a 0 + x i 2 ⋅ a 2 , P 2 ( x i 2 ) = P e 2 ( x i 2 ) + x i 2 P o 2 ( x i 2 ) = a 1 + x i 2 ⋅ a 3 , P 1 ( − x i 2 ) = P e 1 ( − x i 2 ) − x i 2 P o 1 ( x i 2 ) = a 0 − x i 2 ⋅ a 2 P 2 ( − x i 2 ) = P e 2 ( − x i 2 ) − x i 2 P o 2 ( x i 2 ) = a 1 − x i 2 ⋅ a 3 \begin{array}{c|c} 令P_1=P_{e0}(t) = a_0+a_2t, & 令P_2 = P_{o0}(t)= a_1 + a_3t,\\ 则P_{e1}(t) = a_0, & 则P_{e2}(t) = a_1,\\ P_{o1}(t) = a_2 & P_{e2}(t) = a_3\\ P_1(x_i^2) = P_{e1}(x_i^2)+x_i^2P_{o1}(x_i^2) = a_0 + x_i^2\cdot a_2, & P_2(x_i^2) = P_{e2}(x_i^2)+x_i^2P_{o2}(x_i^2) = a_1 + x_i^2\cdot a_3,\\ P_1(-x_i^2) = P_{e1}(-x_i^2)-x_i^2P_{o1}(x_i^2) = a_0 - x_i^2\cdot a_2 & P_2(-x_i^2) = P_{e2}(-x_i^2)-x_i^2P_{o2}(x_i^2)=a_1 - x_i^2\cdot a_3\\ \end{array} 令P1=Pe0(t)=a0+a2t,则Pe1(t)=a0,Po1(t)=a2P1(xi2)=Pe1(xi2)+xi2Po1(xi2)=a0+xi2⋅a2,P1(−xi2)=Pe1(−xi2)−xi2Po1(xi2)=a0−xi2⋅a2令P2=Po0(t)=a1+a3t,则Pe2(t)=a1,Pe2(t)=a3P2(xi2)=Pe2(xi2)+xi2Po2(xi2)=a1+xi2⋅a3,P2(−xi2)=Pe2(−xi2)−xi2Po2(xi2)=a1−xi2⋅a3
如此, 对P0(x)的快速傅里叶变换过程已经呼之欲出了, 然而这里却有一个严重的问题亟待解决……
也许你已经注意到了其中的问题, 让我们回到上述第二步, 该如何取xi的值才能使得x02与x12互为相反数呢, 显然在实数域中这个问题是无法被解决的.
这就是FFT的第二个高明之处, 使用n次单位复根来解决问题.
让我们继续使用上面那个多项式P0(x), 我们需要4个数作为x代入多项式并求值, 从而得出P0(x)的点值表达式, 那么我们不妨使用4次单位复根(1, -1, i, -i)作为 xi :
求 P 0 ( x i ) 的 值 , 其 中 P 0 ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 , x i = [ 1 , − 1 , i , − i ] P 0 ( 1 ) = P e 0 ( 1 ) + 1 ⋅ P o 0 ( 1 ) , P 0 ( − 1 ) = P e 0 ( 1 ) − 1 ⋅ P o 0 ( 1 ) P 0 ( i ) = P e 0 ( − 1 ) + i ⋅ P o 0 ( − 1 ) , P 0 ( − 1 ) = P e 0 ( − 1 ) − i ⋅ P o 0 ( − 1 ) 求P_0(x_i)的值, 其中P_0(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 ,x_i = \left[ 1,-1,i,-i \right]\\ P_0(1)=P_{e0}(1)+1 \cdot P_{o0}(1), \\P_0(-1)=P_{e0}(1)-1 \cdot P_{o0}(1)\\ P_0(i)=P_{e0}(-1)+i \cdot P_{o0}(-1), \\P_0(-1)=P_{e0}(-1)-i \cdot P_{o0}(-1)\\ 求P0(xi)的值,其中P0(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,xi=[1,−1,i,−i]P0(1)=Pe0(1)+1⋅Po0(1),P0(−1)=Pe0(1)−1⋅Po0(1)P0(i)=Pe0(−1)+i⋅Po0(−1),P0(−1)=Pe0(−1)−i⋅Po0(−1)
P e 0 ( 1 ) = P 1 ( 1 ) = P e 1 ( 1 ) + 1 ⋅ P o 1 ( 1 ) = a 0 + 1 ⋅ a 2 , P e 0 ( − 1 ) = P 1 ( − 1 ) = P e 1 ( − 1 ) − 1 ⋅ P o 1 ( 1 ) = a 0 − 1 ⋅ a 2 P o 0 ( 1 ) = P 1 ( 1 ) = P e 2 ( 1 ) + 1 ⋅ P o 2 ( 1 ) = a 1 + 1 ⋅ a 3 , P o 0 ( − 1 ) = P 1 ( − 1 ) = P e 2 ( − 1 ) − 1 ⋅ P o 2 ( 1 ) = a 1 − 1 ⋅ a 3 P_{e0}(1) = P_1(1) = P_{e1}(1)+1\cdot P_{o1}(1) = a_0 + 1\cdot a_2, \\ P_{e0}(-1) = P_1(-1) = P_{e1}(-1)-1\cdot P_{o1}(1) = a_0 - 1\cdot a_2\\ P_{o0}(1) = P_1(1) = P_{e2}(1)+1\cdot P_{o2}(1) = a_1 + 1\cdot a_3, \\ P_{o0}(-1) = P_1(-1) = P_{e2}(-1)-1\cdot P_{o2}(1) = a_1 - 1\cdot a_3 Pe0(1)=P1(1)=Pe1(1)+1⋅Po1(1)=a0+1⋅a2,Pe0(−1)=P1(−1)=Pe1(−1)−1⋅Po1(1)=a0−1⋅a2Po0(1)=P1(1)=Pe2(1)+1⋅Po2(1)=a1+1⋅a3,Po0(−1)=P1(−1)=Pe2(−1)−1⋅Po2(1)=a1−1⋅a3
再将值代入上式, 整个FFT过程便结束了.
当然单位复根的其他(我并不熟知)的性质(如可约引理, 等分引理, 求和引理等), 造就了其十分适合用于快速傅里叶变换中.
简单来说, 对于n次单位复根(其中n是2的正整数次幂), 他们之间两两正负配对(第k个根与第k + n/2个根)且平方后同样两两正负配对, 这令其十分适合用于递归当中.
当然, 这些性质在n是2的正整数次幂时才生效, 当n不是2的正整数次幂时, 可自行将多项式的次数补足, 此时该项系数为0即可.
当然由于我十分的菜, 具体的证明就此略过了, 各位可以看看我推荐的那个视频或者自行寻找资料进行证明(
这一步骤之简单你绝对无法想象, 观察上文的IDFT的实现:
[ a 0 a 1 ⋮ a n − 1 ] = [ 1 x 0 x 0 2 … x 0 n − 1 1 x 1 x 1 2 … x 1 n − 1 … … … ⋮ … 1 x n − 1 x n − 1 2 … x n − 1 n − 1 ] − 1 [ f ( x 1 ) f ( x 2 ) ⋮ f ( x − 1 ) ] \left[ \begin{array}{l} a_0\\ a_1\\ \vdots \\ a_{n-1} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&\dots&x_{0}^{n-1}\\ 1&x_1&x_1^2&\dots&x_{1}^{n-1}\\ \dots&\dots&\dots&\vdots&\dots\\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&\dots&x_{n-1}^{n-1} \end{array} \right]^{-1} \left[ \begin{array}{l} f(x_1)\\ f(x_2)\\ \vdots \\ f(x-1) \end{array} \right] ⎣⎢⎢⎢⎡a0a1⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎢⎡f(x1)f(x2)⋮f(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤
让我们对第二个矩阵进行求逆:
[ 1 x 0 x 0 2 … x 0 n − 1 1 x 1 x 1 2 … x 1 n − 1 … … … ⋮ … 1 x n − 1 x n − 1 2 … x n − 1 n − 1 ] − 1 = [ 1 1 1 … 1 1 ω ω 2 … ω n − 1 … … … ⋮ … 1 ω n − 1 ω 2 ( n − 1 ) … ω ( n − 1 ) ( n − 1 ) ] − 1 = 1 n [ 1 1 1 … 1 1 ω − 1 ω − 2 … ω − ( n − 1 ) … … … ⋮ … 1 ω − ( n − 1 ) ω − 2 ( n − 1 ) … ω − ( n − 1 ) ( n − 1 ) ] \left[ \begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&\dots&x_{0}^{n-1}\\ 1&x_1&x_1^2&\dots&x_{1}^{n-1}\\ \dots&\dots&\dots&\vdots&\dots\\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&\dots&x_{n-1}^{n-1} \end{array} \right]^{-1} = \left[ \begin{array}{l} 1&1 &1&\dots&1\\ 1&\omega &\omega ^2 &\dots&\omega ^{n-1}\\ \dots&\dots&\dots&\vdots&\dots\\ 1&\omega ^{n-1}&\omega ^{2(n-1)}&\dots&\omega^{(n-1)(n-1)} \end{array} \right]^{-1}=\frac{1}{n}\left[ \begin{array}{l} 1&1 &1&\dots&1\\ 1&\omega^{-1} &\omega ^{-2} &\dots&\omega ^{-(n-1)}\\ \dots&\dots&\dots&\vdots&\dots\\ 1&\omega ^{-(n-1)}&\omega ^{-2(n-1)}&\dots&\omega^{-(n-1)(n-1)} \end{array} \right] ⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤−1=⎣⎢⎢⎢⎡11…11ω…ωn−11ω2…ω2(n−1)……⋮…1ωn−1…ω(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎤−1=n1⎣⎢⎢⎢⎡11…11ω−1…ω−(n−1)1ω−2…ω−2(n−1)……⋮…1ω−(n−1)…ω−(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎤其中
x k = ω k , ω = e 2 π i n x_k = \omega_k, \omega = e^{\frac{2\pi i}{n}} xk=ωk,ω=en2πi
也就是说:
[ p 0 p 1 ⋮ p n − 1 ] = 1 n [ 1 1 1 … 1 1 ω ω 2 … ω n − 1 … … … ⋮ … 1 ω n − 1 ω 2 ( n − 1 ) … ω ( n − 1 ) ( n − 1 ) ] [ P ( x 1 ) P ( x 2 ) ⋮ P ( x − 1 ) ] \left[ \begin{array}{l} p_0\\ p_1\\ \vdots \\ p_{n-1} \end{array} \right] = \frac{1}{n}\left[ \begin{array}{l} 1&1 &1&\dots&1\\ 1&\omega &\omega ^2 &\dots&\omega ^{n-1}\\ \dots&\dots&\dots&\vdots&\dots\\ 1&\omega ^{n-1}&\omega ^{2(n-1)}&\dots&\omega^{(n-1)(n-1)} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} P(x_1)\\ P(x_2)\\ \vdots \\ P(x-1) \end{array} \right] ⎣⎢⎢⎢⎡p0p1⋮pn−1⎦⎥⎥⎥⎤=n1⎣⎢⎢⎢⎡11…11ω…ωn−11ω2…ω2(n−1)……⋮…1ωn−1…ω(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡P(x1)P(x2)⋮P(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤
不难发现, 要实现IFFT, 只需在FFT的基础上将ω取倒数, 并在最终结果乘以n分之一即可.
PS:我觉得自己写的FFT解释很烂, 在此建议您如果 (肯定) 有看不懂的部分结合刚才推荐的视频学习
据此, 我们终于可以写出FFT的代码了, 我手写的递归实现如下:
#include
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const double Pi = acos(-1.0); //将常数Pi的值设为arccos(-1)
vector<complex<double> > FFT(vector<complex<double> > &a, int flag) {
//第一个参数为一个多项式的系数, 以次数从小到大的顺序, 向量中每一项的实部为该项系数
//flag == 1->FFT, flag == -1->IFFT
int n = a.size();
if(n == 1) //如果当前多项式仅有常数项时直接返回多项式的值
return a;
vector<complex<double> > Pe, Po; //即原文中的Pe与Po的系数表示法
complex<double> omega(cos(2.0 * Pi / n), sin(flag * 2.0 * Pi / n)), cur(1, 0); //omega为第一个n次复根, cur为第零个n次复根即1
for (unsigned int i = 0; i < n; i++) {
if(i & 1)
Po.push_back(a[i]);
else
Pe.push_back(a[i]);
}
vector<complex<double> > ye = FFT(Pe, flag), yo = FFT(Po, flag), y(n); //递归求得ye=Pe(xi), yo=Po(xi)
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
y[i] = ye[i] + cur * yo[i]; //求出P(xi)
y[i + n / 2] = ye[i] - cur * yo[i]; //由单位复根的性质可知第k个根与第k + n/2个根互为相反数
cur *= omega; //cur * omega得到下一个复根
}
return y; //返回最终的系数
}
当然需要注意的是, 如果当前进行的是IFFT时, 需要将最终结果除以n, 其中n为不小于原多项式阶+1的最小2的整数次幂.
因此你需要在上述代码的基础上增加一个代码, 向原系数向量补0直到向量中元素的个数为二的整数幂为止.
了解了FFT的实现方法, 大数乘法的实现可以说是再简单不过了(毕竟前面的鬼东西都看懂了), 这里便直接贴上源代码了,当然有一个非常需要注意的地方, 最终获取的多项式系数是有可能大于等于10的, 此时需要做进位处理!
#include
#define sync ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const double Pi = acos(-1.0); //将常数Pi的值设为arccos(-1)
vector<complex<double> > FFT(vector<complex<double> > &a, int flag) {
//第一个参数为一个多项式的系数, 以次数从小到大的顺序, 向量中每一项的实部为该项系数
//flag == 1->FFT, flag == -1->IFFT
int n = a.size();
if(n == 1) //如果当前多项式仅有常数项时直接返回多项式的值
return a;
vector<complex<double> > Pe, Po; //即原文中的Pe与Po的系数表示法
complex<double> omega(cos(2.0 * Pi / n), sin(flag * 2.0 * Pi / n)), cur(1, 0); //omega为第一个n次复根, cur为第零个n次复根即1
for (unsigned int i = 0; i < n; i++) {
if(i & 1)
Po.push_back(a[i]);
else
Pe.push_back(a[i]);
}
vector<complex<double> > ye = FFT(Pe, flag), yo = FFT(Po, flag), y(n); //递归求得ye=Pe(xi), yo=Po(xi)
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
y[i] = ye[i] + cur * yo[i]; //求出P(xi)
y[i + n / 2] = ye[i] - cur * yo[i]; //由单位复根的性质可知第k个根与第k + n/2个根互为相反数
cur *= omega; //cur * omega得到下一个复根
}
return y; //返回最终的系数
}
vector<complex<double> > read() {
//获取系数, 注意需要从右向左获取(从0次幂的系数开始)
string num;
cin >> num;
vector<complex<double> > result;
for (int i = num.size() - 1; i >= 0; i--) {
complex<double> tmp(num[i] - '0', 0);
result.push_back(tmp);
}
return result;
}
void solve(vector<complex<double> > &a, vector<complex<double> > &b) {
//多项式系数表达式的修饰
complex<double> tmp(0, 0);
int sum = a.size() + b.size();
while (a.size() < sum)
a.push_back(tmp);
while (b.size() < sum)
b.push_back(tmp);
//如果两式的阶不同, 先补齐
int temp = 1;
while (temp < a.size())
temp <<= 1;
//获取不小于n的最小2的整数次幂
while (a.size() < temp) {
a.push_back(tmp);
b.push_back(tmp);
}
//补齐
}
int main() {
sync;
vector<complex<double> > num1 = read(), num2 = read(), tmp1, tmp2, mid, ans;
solve(num1, num2);
tmp1 = FFT(num1, 1), tmp2 = FFT(num2, 1);
num1.clear();
num2.clear();
for (int i = 0; i < tmp1.size(); i++)
mid.push_back(tmp1[i] * tmp2[i]);
tmp1.clear();
tmp2.clear();
ans = FFT(mid, -1);
bool Ans = false;
int add = 0;
string final;
//进位处理
for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
int op = round(round(ans[i].real()) / ans.size()) + add;
add = 0;
if(op >= 10)
add = op / 10;
final += op % 10 + '0';
}
if(add > 0)
final += add % 10 + '0';
for (int i = final.size() - 1; i >= 0; i--) {
if(final[i] != '0')
Ans = true;
else if(!Ans)
continue;
cout << final[i];
}
cout << '\n';
}
卷积的定义请参见维基对卷积的定义. ↩︎
多项式的次数最大的项的次数即为多项式的阶. ↩︎