Z-Score：定义，公式 和 数据标准化

一、 什么是 Z-Score？

z-score 也叫 standard score， 用于评估样本点到总体均值的距离。z-score主要的应用是测量原始数据与数据总体均值相差多少个标准差。

z-score是比较测试结果与正常结果的一种方法。测试与调查的结果往往有不同的单位和意义，简单地从结果本身来看可能毫无意义。当我们知道小明数学考了90分（满分100），我们也许会认为这是一个好消息，但是如果我们拿小明的成绩与班上平均成绩相比较，我们也许会深感惋惜。z-score可以告诉我们小明数学成绩和总体数学平均成绩的比值。

二、 Z Score 公式

2.1 Z Score 公式：单个样本的情况

当样本只有一个时，z score的规则是：$$z=\frac{x-\mu }{\sigma }(1)$$
举个例子，小明的数学成绩是90，班级的数学平均成绩为95，标准超为2，此时对于此例中的z score为：$$z=\frac{x-\mu }{\sigma }=\frac{90-95}{2}=-2.5$$z score告诉我们这个分数距离平均分数相差几个标准差。此例中，小明的数学分数低于班级平均分数2.5个标准差。

当我们不知道数据总体的 $\mu$ 和 $\sigma$ ，我们可以使用样本均值 $\overline{x}$ 和样本标准差 $S$，此时我们可以用下式精确地表示式（1）：$$z_i=\frac{x_i-\overline{x}}{S}(2)$$

2.2 Z Score 公式：均值的标准误差

如果我们有多个样本，并且想知道这些样本均值 $\overline{x}$ 与总体均值距离多少个标准差，可以使用此公式：$$z=\frac{\overline{x}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}(3)$$举个例子，考过这张数学卷子的人的平均成绩为80，标准差为15。那么对于包括小明等40位同学所在的班级来说$$z=\frac{\overline{x}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{95-80}{15/\sqrt{40}}=6.3$$

三、Z Score 与 标准差

Z-Score表示抽样样本值与数据均值相差标准差的数目。举个例子：

• z-score = 1 意味着样本值超过均值 1 个标准差；
• z-score = 2 意味着样本值超过均值 2 个标准差；
• z-score = -1.8 意味着样本值低于均值 1.8 个标准差。

z-score告诉我们样本值在正态分布曲线中所处的位置。z-score = 0告诉我们该样本正好位于均值处，z-score = 3 则告诉我们样本值远高于均值。

四、Z Score 与 数据标准化

Z Score是一个经常被用于数据标准化的方法。在多指标评价体系中，由于各评价指标的性质不同，通常具有不痛的数量级和单位，如果直接利用原始数据，就会突出数值较高的指标在分析中的作用，相对弱化数值较低指标的作用。因此，为了保证结果的可靠性，需要对原始数据进行标准化。

对于样本序列 $x_1,x_2,...,x_n$进行标准化，根据公式（2）有$$y_i=\frac{x_i-\overline{x}}{s}$$产生的新序列 $y_1,y_2,...,y_n$ 是均值位0，方差为1，无量纲的数据。