URAL 2032 - Conspiracy Theory and Rebranding【本源勾股数组】

【题意】

给出三角形的三个边长，均是10^7以内的整数，问三角形的三个角的坐标是否能均是整数，输出其中任意一个解。

 

 【题解】

一开始想的是枚举一条边的横坐标，然后通过勾股定理以及算角度求出其他点的坐标，再判断是否符合条件。

亲测TLE

 

直到知道了本源勾股数组的构造方法。。。

每个本源勾股数组(a,b,c)满足a*a+b*b=c*c，其中a为奇数，b为偶数。。

枚举s,t（1<=t<s，且它们是没有公因数的奇数） 

a=st　　b=(s*s-t*t)/2　　c=(s*s+t*t)/2

因为最大数c=(s*s+t*t)/2  所以最多枚举到sqrt(2*c)即可。

 

假设三角形的三个点分别为p,q和r，

我们先固定一个点为p(0,0)，另外一个点q与它的距离是x，还有一个点r与它的距离是y。那么q的距离与r的距离一定是z

我们枚举勾股数组，如果勾股数组(a1,b1,c1)的c1，也就是最大的那个数，等于x，那么x的坐标为(a1,b1)【当然也可以是(a1,-b1),(-a1,b1),(-a1,-b1)，均需要枚举，下同】

然后枚举c等于y的勾股数组，(a2,b2,c2)，那么r点坐标为(a2,b2) 【可以事先把这些坐标预处理出来，放入vector中】

接下来判断两坐标是否相距为z即可。

 

注意通过这种方法求出来的勾股数组的a是奇数，也就是说它们的倍数 (i*a,i*b,i*c)，i是一个正整数，并不会被求出来，我们要求的是i*c==x，那么只要满足x mod c=0我们就可以把勾股数组乘以x/c，加入备选选项中。

注意(0,x) (0,-x) (x,0) (-x,0)以及(0,y) (0,-y) (y,0) (-y,0) 不会在枚举本源勾股数组中出现，所以需要自己手动判断。

 

#include<bits/stdc++.h>

#define eps 1e-9

#define FOR(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)

#define MAXN 1005

#define MAXM 40005

#define INF 0x3fffffff

#define PB push_back

#define MP make_pair

#define X first

#define Y second

#define lc (k<<1)

#define rc ((k<<1)1)

using namespace std;

typedef long long LL;

LL i,j,k,n,m,x,y,T,ans,big,cas,num,len;

bool flag;

LL z;

LL mx,sum,a,b,c;

vector <pair<LL,LL> > xx,yy;



LL gcd(LL x, LL y)

{

    return y ? gcd(y, x % y) : x;

}



int main()

{

    scanf("%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&z);

    if (x>y) swap(x,y);

    if (y>z) swap(y,z);

    if (x>y) swap(x,y);

    mx=(LL)(sqrt(2*z)+eps);

    

    for (i=1;i<=mx;i+=2)//枚举本源勾股数组

    {

        for (j=i+2;j<=mx;j+=2)

        {

            if (gcd(i,j)>1) continue;

            a=i*j;

            b=(j*j-i*i)/2;

            c=(j*j+i*i)/2;

            if (x%c==0)

            {

                xx.PB(MP(a*x/c,b*x/c));

                xx.PB(MP(a*x/c,-b*x/c));

                xx.PB(MP(-a*x/c,b*x/c));

                xx.PB(MP(-a*x/c,-b*x/c));

                xx.PB(MP(b*x/c,a*x/c));

                xx.PB(MP(b*x/c,-a*x/c));

                xx.PB(MP(-b*x/c,a*x/c));

                xx.PB(MP(-b*x/c,-a*x/c));

            }

            if (y%c==0) 

            {

                yy.PB(MP(a*y/c,b*y/c));

                yy.PB(MP(a*y/c,-b*y/c));

                yy.PB(MP(-a*y/c,b*y/c));

                yy.PB(MP(-a*y/c,-b*y/c));

                yy.PB(MP(b*y/c,a*y/c));

                yy.PB(MP(b*y/c,-a*y/c));

                yy.PB(MP(-b*y/c,a*y/c));

                yy.PB(MP(-b*y/c,-a*y/c));

            }

        }

    }

    xx.PB(MP(0,x));xx.PB(MP(x,0));xx.PB(MP(0,-x));xx.PB(MP(-x,0));

    yy.PB(MP(0,y));yy.PB(MP(y,0));yy.PB(MP(0,-y));yy.PB(MP(-y,0));

    

    for (i=0;i<xx.size();i++)

    {

        for (j=0;j<yy.size();j++)

        {

            if ((xx[i].X-yy[j].X)*(xx[i].X-yy[j].X)+(xx[i].Y-yy[j].Y)*(xx[i].Y-yy[j].Y)==z*z)

            {

                printf("0 0\n%I64d %I64d\n%I64d %I64d\n",xx[i].X,xx[i].Y,yy[j].X,yy[j].Y);

                return 0;

            }

        }

    }

    printf("-1\n");

    return 0;

}