最短路计数 学习笔记

最短路计数

最短路非常熟悉，但是最短路数量怎么计算呢？

设一个计数数组sum[];

以 dij 算法为例，当 p—>q 时，如果是可以更新最短路，那么 sum[q]=sum[p]；

如果不可以更新最短路，那么如果 dis[p]+edge[i].w==dis[q] ，说明 p 到 q 也是最短路，sum[q]+=sum[p] ;

模板题：洛谷·P1608 路径统计

代码：

#include
#define LL long long
#define pa pair
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=10100;
const int M=5000100;
const LL mod=100003;
int n,m;
struct Node{
     
	int to,nex,w;
}edge[M*2];
int head[N],cnt,ma[N][N];
void add(int p,int q,int w){
     
	edge[cnt].w=w,edge[cnt].to=q,edge[cnt].nex=head[p],head[p]=cnt++;
}
struct node{
     
	int fi,se;
	bool operator < (const node& rhs) const{
     return fi>rhs.fi;}
};
int dis[N],sum[N];
bool vis[N];
void dij(){
     
	priority_queue<node>qu;
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=2e9;
	dis[1]=0;sum[1]=1;qu.push(node{
     0,1});
	while(!qu.empty()){
     
		node n1=qu.top();
		qu.pop();
		int p=n1.se;
		if(vis[p]) continue;
		vis[p]=true;
		for(int i=head[p];~i;i=edge[i].nex){
     
			int q=edge[i].to;
			if(dis[q]>dis[p]+edge[i].w){
     
				dis[q]=dis[p]+edge[i].w;
				sum[q]=sum[p];
				qu.push(node{
     dis[q],q});
			}
			else if(dis[q]==dis[p]+edge[i].w) sum[q]+=sum[p];
		}	
	}
}
int main(){
     
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
     
		int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		if(!ma[x][y]||ma[x][y]>z) add(x,y,z),ma[x][y]=z;
	}
	dij();
	if(dis[n]==2e9) printf("No answer\n");
	else printf("%d %d\n",dis[n],sum[n]);
	return 0;
}

还有种情况，就是没有边权的时候（就是边权为 1 ），这种情况的最短路就是bfs一遍就可以，第一次遍历到的点，更新最短路，之后再遍历到这个点就没用了，因为第一次遍历到的点一定是最短路；所以只要标记每个点是否遍历到就行;

模板题：洛谷·P1144 最短路计数

#include
#define LL long long
#define pa pair
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=1000100;
const int M=2000100;
const LL mod=100003;
int n,m;
struct Node{
     
	int to,nex;
}edge[M*2];
int head[N],cnt;
void add(int p,int q){
     
	edge[cnt].to=q,edge[cnt].nex=head[p],head[p]=cnt++;
}
LL ans[N],dis[N];
bool vis[N];
void bfs(){
     
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=2e17;
	dis[1]=0,ans[1]=1,vis[1]=true;
	queue<int>qu;qu.push(1);
	while(!qu.empty()){
     
		int p=qu.front();qu.pop();
		for(int i=head[p];~i;i=edge[i].nex){
     
			int q=edge[i].to;
			if(!vis[q]){
     
				vis[q]=true,dis[q]=dis[p]+1;
				qu.push(q);
			}
			if(dis[q]==dis[p]+1){
     
				ans[q]+=ans[p];
				ans[q]%=mod;
			}
		}
	}
}
int main(){
     
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
     
		int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y),add(y,x);
	}
	bfs();
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
	return 0;
}