A Sliding Window Filter for SLAM

这篇专题的idea主要来源于2006年Gabe Sibley的论文A Sliding Window Filter for SLAM，此论文详细说明了SLAM后端优化的稀疏性的缘由，并提出了应用于slam中Sliding window filter算法，在进入主题之前，小编先向大家安利一波。

接下来，小编就给大家分享一下读了论文之后的心得。老生常谈地，先简单说明一下slam这个问题的数学模型，机器人在运动过程中，通常会记录大量pose，以及landmark,我们用x_p表达pose，用x_m表达landmark，那么如果在运动过程中，有m个pose，n个landmark，整个向量可以写成这样的形式：

 

对于空间中的三维运动，一般pose是一个6维的向量(位置和姿态)，landmark是一个三维的向量(位置)，在这样一次运动过程中，由于我们能获得大量的pose和landmark，而且他们总是充满了一些联系，因此，接下来的任务，就是对这样的联系进行数学建模

 

Process Model

首先我们要建立pose之间的联系，一个简单的方法自然就是使用运动学公式，我们可以通过惯性传感器(IMU)测量到加速度(acceleration)和角速度(angularvelocity),这样通过积分以及给定的上一时刻的pose和速度(velocity)，直接就可以算到当前的pose了，当然，其实也可以建立其他很复杂的关系，但是我们总是希望这个关系是马尔科夫性的，也就是如果知道了上一时刻的pose，那么当前的pose和上一时刻之前的pose信息是相互独立的，或者说可以认为上一时刻的pose已经包含了之前pose的所有信息，这样的模型也许并不那么完美，比如说传感器随着时间精度有所变化等，可能得不到那么完整的信息，导致模型不满足马尔科夫性，这是完全有可能的，但是我们也这样去近似了，就认为当前状态仅仅之和前一时刻的状态有关，和更前面的状态没有关系，由此，我们有这样一个抽象的模型：

其中u代表输入，对于速度加速度模型可以理解为速度，如果建立了动力学模型，完全可以理解为力和力矩等，是一个给定的具体值，w代表噪声(均值为0，方差为Q)，如果我们把每个时刻的pose方程拼起来，那么我们就愉快地得到了一个估计方程组(表达式)：

由此，我们可以通过这个方程组，写出整个x_p的分布，由于噪声是满足高斯分布的，所以整个x_p的分布也满足高斯分布，如下：

Sensor Model
接下来让我们建立landmark和pose之间的联系，可以想象的是，一个pose会对多个landmark进行观测，同时同一个landmark可能被不同的pose观测到，而且由于传感器的不同，观测方程可能千变万化，近年火起来的视觉slam，就是把激光传感器换成了相机，用像素代表观测值，从而想方设法得到landmark以及pose的估计，一个更加general的模型是这样的一个方程：

这个代表的是在j位置对i观测，z是观测值，h是观测函数，v是满足均值为0方差为R的噪声，你可以想象，每个pose都有大量观测，如此多的观测凑在一起，拼成了一个无比庞大的函数：

　　
同样的，由于噪声满足高斯分布，我们也可以写出这个概率密度函数：

　　Model

有了这些玩意儿，我们是时候建一波把他们统一在一起的模型了。

首先，我们有一些先验信息，比如说你大概猜了一下，机器人都有第一个pose在哪个地方，沿途看到了哪些路标，同时有一个不确信度，整个信息满足高斯分布，如下：

其中Pi表示信息矩阵，那么概率密度如下：

有了这些个概率，我们可以写一个联合概率密度：

根据贝叶斯公式，可以表示后验概率为：

注意到分母和x无关，因此，可以写出这样一个公式：

那么这个时候，我们定义一个函数g:

　　

那么我们用最大似然估计，可以得到一个能量方程(g2o上面那个):

于是，这个时候应该愉快地高斯牛顿了。具体推导我就不做了，最后可以得到一个类似这样的方程：

 

然而，这个不是重点，重要的是对hessian的认识，请看下图：

 

看起来是不是很酷？左边第一个是雅可比矩阵，有颜色部分是有数据的，其他都是0，左边第二块是整个hessian矩阵的长相，它正好等于传感器给你的(观测模型)+运动过程中建立的(运动模型)+先验信息。

为啥会长这个样子呢？其实很简单，注意观测模型，其实正好是稀疏BA的矩阵，它反映了pose和point之间的连接，第二个反映了pose和pose之间的连接(可以看到这个块块比第一个左上角的块块大，其实是把连接放进去了)，第三个反映了对地图的未知性(看右下角，认为point之间可能是有关联的)，以及对第一帧的预测，还有地图的预测，具体公式推导，请自行进行，并不难。

 

The Sliding Window Filter

我想，最后是时候上算法了，讲了这么多，我想大家对slam问题的数学模型也有一定的了解了，但是其实有一个比较大的问题，即大规模运动和观测总会跪，什么意思呢，虽然slam有很好的稀疏性，有强大的g2o作为后端优化的神器，但是数据总不能没有限制地增大增大再增大，所以，这个时候，如果我们有一个将计算复杂程度限制甚至固定的方法，这样是不是很酷呢？

Marginalization

这个算法的核心就是边缘化了，什么是边缘化呢，简单说，边缘化就是利用shur补减少优化参数，从而提升计算性能。shur补是啥呢？是时候上一波维基百科：

以上，均为维基百科对舒尔补的解释，实际上，使用shur补，就是计算了余留参数在准备remove的参数下的条件概率。所以说，每marg一次，就会代入一些交叉项信息，请看下图，这是论文上的原图

我不想去翻译着些英文，就大致说明一下是怎么回事

marg了最老的一帧，那么你需要在首先在这一帧上看到的landmark之间建立起联系，并且需要建立和被marg的那一帧上看到的landmark与那一帧联系的所有帧之间的联系(由于有马尔可夫性，所以一般就是下一帧和上一帧之间的联系)，最后可以直接marg掉点

下面那个网格是从动态贝叶斯网的观点看这个原理，我不想多做说明，至于marg的具体操作，其实就是做一次舒尔补罢了。这就是小编这次想给大家分享的所有内容，希望大家喜欢！！

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