杨辉三角斜列规律及与循环层数的关系

杨辉三角斜列规律及与循环层数的关系

一、杨辉三角简介

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。

杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就。如图所示：

在本文中，重点不是二项式系数，因为二项式系数是基于水平数列考虑的，如1 5 10 10 5 1，而本文则基于斜列考虑，如下图：

二、杨辉三角斜列规律

定义斜列第一层为：1 2 3 4 5 6 . . .

则：

第二层：1 3 6 10 15 21 28 36 . . .

第三层：1 4 10 20 35 56 84 . . .

第四层：1 5 15 35 70 126 . . .

那么对于第m层的第n个数，将该数记为 (m)X(n)，简记为X(n)，则有

(m)X(n) = A(n+m-1, m) / m !，即X(n) = A(n+m-1, m) / m !

其中，A(n+m-1, m)为排列数，例如：A(5, 3) = 5 * 4 * 3 = 60

m !为m的阶乘，例如：m = 4，m ! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

可自行检验上述数据，这里举出一个：

第三层：1 4 10 20 35 56 84

由题可得：m = 3，可得公式：X(n) = A(n+2, 3) / 6

检验：

n = 1, X(1) = A(3, 3) / 6 = 3 * 2 * 1 / 6 = 1

n = 2, X(2) = A(4, 3) / 6 = 4 * 3 * 2 / 6 = 4

n = 3, X(3) = A(5, 3) / 6 = 5 * 4 * 3 / 6 = 10

…成立

三、特殊多层循环嵌套

for (int i = 1; i <= n; ++ i)
  ​    语句一；

当仅有一个for()循坏时，语句一被执行的次数仅与n有关，这里把语句一执行的频数记为Y，Y与n的关系表示为：Y(n) = …，这里显然 Y(n) = n

 for (itn i = 1; i <= n; ++ i)

 ​     for (int  j = 1; j <= i; ++ i)

 ​          语句一；

注意如果第二层循环判断条件为 j <= n，那么这显然是一个O(n^2)的算法

Y(n) = n * n，但不是这样

这里直接给出结论，语句一执行次数与循环层数的关系：

对于m层类似上述的循环嵌套，语句一执行次数与n的关系为：

Y(n) = A(n+m-1, m) / m !

四、杨辉三角与特殊循环嵌套的联系

由此可见，杨辉三角与循环具有共同的公式，循环的层数对应杨辉三角斜列层数，对于不同n的值，也有斜列第n个数与之对应，举例如下:
所以，例如严蔚敏《数据结构习题解析与实验指导》，注：是习题册

P4. 10，求

for (int i = 1; i <= n; ++ i)

​    for (int j = 1; j <= i; ++ j)

​         for (int k = 1; k <= j; ++ k)

​              x ++;

求x++这句执行的频度

显然，循环为3层，m = 3;

Y(n) = A(n+m-1, m) / m! = n(n+1)(n+2) / 6，选 D

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本文得到结论的方式为类推，没有经过公式的证明，但是通过了程序的测试，想与大家分享一些我的发现，如有错误，欢迎指出，如有疑惑，评论讨论一下啊~