【Java 数据结构与算法 04】递归
本文为学习 Java 数据结构与算法所记录，主要内容为 递归 的原理和应用，以及通过递归解决迷宫问题、八皇后问题(回溯算法)
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递归
递归是什么？
简单的说: 递归就是方法自己调用自己，每次调用时传入不同的变量。递归有助于编程者解决复杂的问题，同时可以让代码变得简洁。
递归调用机制
这里列举两个小案例，来帮助大家理解递归调用机制
- 打印问题
- 阶乘问题
图解
代码
package com.yanbingxu.recursion;
/**
* 递归
*
* @author Yuanzhibx
* @Date 2020-08-22
*/
public class RecursionTest {
public static void main(String[] args) {
// 回顾递归调用机制
test(4);
System.out.println("--------------------");
int res = factorial(3);
System.out.println("res = " + res);
}
/**
* 打印问题
* 不加入 else 输出: 2 3 4
* 加入 else 输出: 2
*/
public static void test(int n) {
if (n > 2) {
test(n - 1);
}
System.out.println("n = " + n);
}
/**
* 阶乘问题
*/
public static int factorial(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
} else {
return factorial(n - 1) * n;
}
}
}
问题
递归能解决什么样的问题
- 各种数学问题如: 8 皇后问题、汉诺塔、阶乘问题、迷宫问题、球和篮子的问题(google 编程大赛)
- 各种算法中也会使用到递归，比如：快排、归并排序、二分查找、分治算法等
- 将用栈解决的问题 --> 递归代码比较简洁
递归需要遵守的重要规则
- 执行一个方法时，就创建一个新的受保护的独立空间(栈空间)
- 方法的局部变量是独立的，不会相互影响
- 如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组)，就会共享该引用类型的数据.
- 递归必须向退出递归的条件逼近，否则就是无限递归，出现 StackOverflowError 堆栈溢出错误
- 当一个方法执行完毕，或者遇到 return，就会返回。遵守谁调用，就将结果返回给谁，同时当方法执行完毕或者返回时，该方法也就执行完毕
递归-迷宫问题
代码
package com.yanbingxu.recursion;
/**
* 迷宫问题
*
* @author Yuanzhibx
* @Date 2020-08-22
*/
public class Maze {
public static void main(String[] args) {
int[][] map = addMap();
// 输出地图
for (int i = 0; i < 8; i++) {
for (int j = 0; j < 7; j++) {
System.out.print(map[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
System.out.println("--------------");
// 使用递归回溯来给小球找路
// setWay(map, 1, 1);
setWay2(map, 1, 1);
// 输出新地图
for (int i = 0; i < 8; i++) {
for (int j = 0; j < 7; j++) {
System.out.print(map[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
/**
* 创建二维数组, 模拟迷宫
* 使用 1 表示墙
*/
public static int[][] addMap() {
// 创建二维数组, 模拟迷宫
int[][] map = new int[8][7];
// 上下全部置为 1
for (int i = 0; i < 7; i++) {
map[0][i] = 1;
map[7][i] = 1;
}
// 左右全部置为 1
for (int i = 0; i < 8; i++) {
map[i][0] = 1;
map[i][6] = 1;
}
// 设置挡板, 使用 1 表示
map[3][1] = 1;
map[3][2] = 1;
return map;
}
/**
* 使用递归回溯来给小球找路
* 如果小球能找到 map[6][5], 则说明通路找到
* 约定: 当 map[i][j]
* - 为 0 表示该点没有走过
* - 为 1 表示墙
* - 为 2 表示通路可以走
* - 为 3 表示该点已经走过，但是走不通
* 在走迷宫时，需要确定一个策略(方法): 下 -> 右 -> 上 -> 左 (如果该点走不通, 再回溯)
*
* @param map 表示地图
* @param i 表示从哪个位置开始出发 (1, 1)
* @param j 表示从哪个位置开始出发
* @return 如果找到通路, 返回 true, 否则返回 false
*/
public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) {
if (map[6][5] == 2) {
// 通路已经找到
return true;
} else {
if (map[i][j] == 0) {
// 该点还没走过, 按照策略走: 下 -> 右 -> 上 -> 左
// 假定该点可以走通
map[i][j] = 2;
if (setWay(map, i + 1, j)) {
// 向下走
return true;
} else if (setWay(map, i, j + 1)) {
// 向右走
return true;
} else if (setWay(map, i - 1, j)) {
// 向上走
return true;
} else if (setWay(map, i, j - 1)) {
// 向左走
return true;
} else {
// 该点走不通, 是死路
map[i][j] = 3;
return false;
}
} else {
// 如果 map[i][j]!=0 (可能是 1 2 3)
return false;
}
}
}
/**
* 修改找路策略(方法): 上 -> 右 -> 下 -> 左 (如果该点走不通, 再回溯)
*
* @param map 表示地图
* @param i 表示从哪个位置开始出发 (1, 1)
* @param j 表示从哪个位置开始出发
* @return 如果找到通路, 返回 true, 否则返回 false
*/
public static boolean setWay2(int[][] map, int i, int j) {
if (map[6][5] == 2) {
// 通路已经找到
return true;
} else {
if (map[i][j] == 0) {
// 该点还没走过, 按照策略走: 下 -> 右 -> 上 -> 左
// 假定该点可以走通
map[i][j] = 2;
if (setWay2(map, i - 1, j)) {
// 向上走
return true;
} else if (setWay2(map, i, j + 1)) {
// 向右走
return true;
} else if (setWay2(map, i + 1, j)) {
// 向下走
return true;
} else if (setWay2(map, i, j - 1)) {
// 向左走
return true;
} else {
// 该点走不通, 是死路
map[i][j] = 3;
return false;
}
} else {
// 如果 map[i][j]!=0 (可能是 1 2 3)
return false;
}
}
}
}
说明
- 小球得到的路径，和设置的找路策略有关。即：找路的上下左右的顺序相关
- 再得到小球路径时，可以先使用(下右上左)，再改成(上右下左)，看看路径是不是有变化
- 测试回溯现象
思考: 如何求出最短路径?
递归-八皇后问题(回溯算法)
什么是八皇后问题？
八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于 1848 年提出:在 8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即: 任意两个皇后都不能处于同一行、 同一列或同一斜线上，问有多少种摆法(92)。
高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。计算机发明后，有多种计算机语言可以解决此问题
思路分析
- 第一个皇后先放第一行第一列
- 第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否OK，如果不OK，继续放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一个合适位置
- 继续第三个皇后，还是第一列、第二列…直到第8个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到了一个正确解
- 当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯，即将第一个皇后，放到第一列的所有正确解，全部得到
- 然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行 1、2、3、4 的步骤
思路分析示意图
代码
说明：理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘，但是实际上可以通过算法，用一个一维数组即可解决问题.
- arr[8] = {0, 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
- arr 下标表示第几行，即第几个皇后
- arr[i] = val，val 表示第 i + 1 个皇后，放在第 i + 1 行的第 val + 1 列
package com.yanbingxu.recursion;
/**
* 八皇后问题
*
* @author Yuanzhibx
* @Date 2020-08-22
*/
public class EightQueens {
/**
* 表示共有多少个皇后
*/
static final int MAX = 8;
/**
* 保存皇后放置位置的结果
* 如 arr = {0, 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
*/
static int[] array = new int[MAX];
/**
* 八皇后问题解法
*/
static int count = 0;
/**
* 判断冲突次数
*/
static int judgeCount = 0;
public static void main(String[] args) {
EightQueens queens = new EightQueens();
queens.check(0);
System.out.printf("一共有 %d 解法", count);
System.out.printf("判断冲突 %d 次", judgeCount);
}
/**
* 将皇后摆放的位置输出
*/
private void print() {
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
System.out.print(array[i] + " ");
}
System.out.println();
count++;
}
/**
* 查看放置的皇后, 是否和前面已摆放的皇后冲突
*
* @param n 放置的第 n 个皇后
* @return 冲突返回 false 不冲突返回 true
*/
private boolean judge(int n) {
judgeCount++;
for (int i = 0; i < n; i++) {
/*
说明:
1. array[i] == array[n] 表示判断第 n 个皇后是否和前面的 n - 1 个皇后在同一列
2. Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i] 表示判断第 n 个皇后是否和第 i 个皇后在同一斜线
- n = 1 array[1] = 1
- Math.abs(1-0) == 1
- Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1
3. 判断是否在同一行, 因 n 每次都在递增, 所以不需要判断
*/
if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) {
return false;
}
}
return true;
}
/**
* 放置第 n 个皇后
* 每一次递归时, 进入到 check 都有一个 for (int i = 0; i < MAX; i++), 所以存在回溯
*
* @param n 放置的第 n 个皇后
*/
private void check(int n) {
if (n == MAX) {
// n = 8, 则皇后放置完成
print();
return;
}
// 依次放入皇后, 并判断是否冲突
for (int i = 0; i < MAX; i++) {
// 将当前皇后 n 放到该行第 1 列
array[n] = i;
// 判断是否冲突
if (judge(n)) {
// 不冲突则继续放第 n + 1 个皇后, 开始递归
check(n + 1);
}
// 如果冲突, 就继续执行 array[n] = i; 即第 n 个皇后在本行后移一个位置
}
}
}
一共有 92 解法
判断冲突 15720 次
参考
[1] 尚硅谷Java数据结构与算法 韩顺平
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