RSA 算法基础之-概念篇

一、RSA算法

在加解密信息的过程中，使用的加密密钥（公钥）与解密密钥（私钥）不同，即：

1. 甲要传密信给乙，乙先根据某种算法得出本次与甲通信的公钥与私钥；
2. 乙将公钥传给甲（公钥可以让任何人知道，即使泄露也没有任何关系）；
3. 甲使用乙给的公钥加密要发送的原文m，将密文c发送给乙；
4. 乙使用自己的私钥解密密文c，得到原文m。

这种加密模式被称为“非对称加密算法”。从始至终，私钥一直都在信息接收方乙处，只要乙自己不泄露出去，私钥就没有泄露的可能。

二、质数与互质数

一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为质数（素数）；否则称为合数。

例如，15＝3×5，所以15不是质数；13=13×1，以外不能为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个质数；1不是质数，也不是合数。

公约数只有1的两个数，叫做互质数。判断或选取互质数的方法/定理有很多，如下所示：

1. 任意两个质数一定构成互质数（如3与11、53与61）；
2. 大数是质数的两个数一定是互质数（如97与88）；
3. 一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数；即一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系（如3与10、5与26）；
4. 1和任何一个自然数在一起都是互质数；
5. 相邻的两个自然数是互质数（如15与16）；
6. 相邻的两个奇数是互质数（如49与51）

在RSA算法中，我们通常使用以上第1条与第2条，即选取两个本身都是质数的数作为互质数，而以上第2条定理对于计算欧拉函数值有着积极作用。

三、模运算

模运算的定义如下：让m去被n整除，用所得的余数作为结果，就叫做模运算。

10 mod 3 = 1
26 mod 6 = 2
28 mod 2 = 0

四、同余

“≡”是数论中表示同余的符号，同余的定义如下：

给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能被m整除，即(a-b) mod m = 0，那么就称整数a与b对模m同余，记作 a≡b(mod m)，同时可成立a mod m=b。

同余与模运算是不同的：a≡b(mod m) 仅可推出 b=a mod m。

五、欧拉函数

欧拉函数本身需要一系列复杂推导，本文仅介绍对认识RSA算法有帮助的部分：任意给定正整数n，计算在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。

例如，在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以φ(n)=4 。

在RSA算法中，需要明白欧拉函数对以下定理成立：

1. 如果n可以分解成两个互质的整数之积，即n=p×q，则有：φ(n)=φ(pq)=φ(p)φ(q)；
2. 根据“大数是质数的两个数一定是互质数”可以知道：一个数如果是质数，则小于它的所有正整数与它都是互质数；所以如果一个数p是质数，则有：φ(p)=p-1

所以，如果我们知道一个数n可以分解为两个质数p和q的乘积，则有：

φ(n)=(p-1)(q-1)

六、欧拉定理与模反元素

欧拉函数的用处，在于欧拉定理。“欧拉定理”指的是：如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的等式成立：

a^φ(n) ≡ 1(mod n)

也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1，模反元素的推导过程如下：

即，如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得ab-1被n整除，或者说ab被n除的余数是1 。