高考数学全国卷立体几何大题：三棱柱

三棱柱：2012年文科数学全国卷题19

（19）（本小题满分 12 分）

如图，三棱柱 中，侧棱垂直底面， 是棱 的中点.

（I）证明∶平面 平面 ;

（Ⅱ）平面 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

2012年文科数学全国卷

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三棱柱：2012年理科数学全国卷题19

（19）（本小题满分12 分）

如图，直三棱柱 中， 是棱 的中点.

（Ⅰ）证明∶ ;

（Ⅱ）求二面角 的大小.

2012年理科数学全国卷

提示：二面角的余弦值可以用两个三角形的面积比求出。可参考以下考题：2004年文数全国卷三题21.

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三棱柱：2020年全国卷B题20

20.（12 分）

如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形， 分别为 的中点， 为 上一点，过 和 的平面交 于 ，交 于 .

（1）证明∶ , 且平面 平面 ;

（2）设 为 的中心. 若 // 平面 ,且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.

2020年全国卷B

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三棱柱~菱形：2013年理科数学全国卷A题18

（18）（本小题满分12分）

如图，三棱柱 中，

（I）证明∶ ;

（Ⅱ）若平面 平面 , ，求直线 与平面 所成角的正弦值.

2013年理科数学全国卷A

提示：第一问与2007年海南卷基于同一题根。

第二问，你应该分别用两种方法解答：几何方法、向量方法。解答完成后，比较一下两种方法的优劣。

这个题对于锻炼空间想象能力大有好处，值得多花一些时间。

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三棱柱~菱形：2013年文科数学全国卷A题19

（19）（本小题满分12 分）

如图，三棱柱 中，

（Ⅰ）证明∶ ;

（Ⅱ）若 ，求三棱柱 的体积.

2013年文科数学全国卷A

提示： 本题的第一问，与2007年文数海南卷，基于同一题根。

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三棱柱~菱形：2014年理科数学全国卷A题19

（19）（本小题满分12 分）

如图，三棱柱 中，侧面 为菱形，.

（Ⅰ）证明∶ ；

（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值.

2014年理科数学全国卷A

提示1：这个题的基本模型是棱柱。但从棱柱中可以拆出一个我们熟悉的基本模型。注意：四面体 与2007年海南卷中的模型一致。

提示2：二面角的余弦值，可以用向量方法，也可以用几何方法求出。在完成之后，自己对比一下。

这个题对于锻炼空间想象能力大有好处，值得多花一些时间。

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三棱柱~菱形：2014年文科数学全国卷A题19

（19）（本小题满分12 分）

如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为 ，且 平面

（I）证明∶ ;

（Ⅱ）若 ，求三棱柱 的高.

2014年文科数学全国卷A

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