高考数学全国卷立体几何大题：第二类常见四面体

第二类常见四面体：有3个侧面为直角三角形的四面体

四面体：2007年理科数学海南卷题18（12 分）

18.（本小题满分12 分）

如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形，， 为 的中点.

（Ⅰ）证明∶ 平面 ;

（Ⅱ）求二面角 的余弦值.

2007年理科数学海南卷题

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四面体：2009年文科数学海南卷题18（12 分）

如图，在三棱 锥 中， 是等边三角形，

（Ⅰ）证明∶;

（Ⅱ）若 ，且平面 平面 ，求三棱锥 的体积.

2009年文科数学海南卷

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四面体：2016年文科数学全国卷A题18（12 分）

如图，已知正三棱锥 的侧面是直角三角形，. 顶点 在平面 内的正投影为点 在平面 内的正投影为点 ，连接 并延长交 于点

（Ⅰ）证明∶ 是 的中点;

（Ⅱ）在图中作出点E在平面 PAC 内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体 的体积.

2016年文科数学全国卷A

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四面体：2015年文科数学全国卷A题18 （12 分）

如图，四边形 为菱形， 为 与 的交点， 平面 .

（Ⅰ）证明∶平面 平面 ;

（Ⅱ）若 ，三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.

2015年文科数学全国卷A

提示：这个题用几何方法，有两种思路。注意其中的四面体与2016年文数全国卷A的关系。

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四面体：2019年全国卷A~12（5分）

12.已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上，， 是边长为 2 的正三角形， 分别是 的中点，，则球 的体积为

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四面体：2020年全国卷A题18（12 分）

如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径，. 是底面的内接正三角形， 为 上一点，.

（1）证明∶ 平面 ;

（2）求二面角 的余弦值.

2020年全国卷A

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四面体：2015年理科数学全国卷A题18（12 分）

如图，四边形 为菱形，， 是平面 同一侧的两点， 平面 ，平面,

（Ⅰ）证明∶平面 平面 ;

（Ⅱ）求直线 与直线 所成角的余弦值.

2015年理科数学全国卷A

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