图的连通法之普里姆算法和卡鲁斯卡尔算法

最小生成树

• 连通图：图的连通其实就是树，图的最小连通图其实就是最小生成树。

• 树：如果一个无向连通图中不存在回路，则这种图称为树。
• 生成树：无向连通图G的一个子图如果是一颗包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树。
• 最小生成树：或者称为最小代价树，对无向连通图的生成树，各边的权值总和称为生成树的权，权最小的生成树称为最小生成树。

最小生成树.png

最小生成树2.png

• 一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。我们把构造连通网的最小代价生成树。称为最小生成树。
• 找连通网的最小生成树，经典的有两种算法，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

普里姆算法

• 普里姆算法：

#代表无限大


假设以v0为基准开始，探测v0到各个顶点的距离：
v0
0, 10, #, #, #, 11, #, #, #
看到v0到v1的距离最短为10.

接下来我们要把v1加到基准里。以v0和v1为基准，探测到各个顶点的距离：
v0，v1
0, 0, 18, #, #, 11, 16, #, 12
看到到v8的举例最短为12.
这个过程前会把v0到各个顶点的距离和v1到各个顶点的距离作比较，小的留下。
=======>

v0
0, 10, #, #, #, 11, #, #, #
v1
10, 0, 18, #, #, #, 16, #, 12
可以看到相同位置的元素，18比#小，11比16小，12比#小。替换后：

v0，v1
0, 0, 18, #, #, 11, 16, #, 12

=======>

就是这样不断寻找基准距离最短的顶点，将其加入基准。然后再以基准探测周围举例最短的点。一直到所有顶点都找完！

图的深度优先遍历.png

package com.cx.graphdemo;

public class Graph {

    private int vertexSize; // 顶点数量
    private int[] vertexs; // 顶点数组
    private int[][] matrix; // 邻接矩阵
    private static final int MAX_WEIGHT = 1000;
    private boolean[] isVisited; // 是否被访问过

    public Graph(int vertexSize) {
        this.vertexSize = vertexSize;
        vertexs = new int[vertexSize];
        matrix = new int[vertexSize][vertexSize];

        for (int i = 0; i < vertexSize; i++) {
            vertexs[i] = i;
        }

        isVisited = new boolean[vertexSize];
    }

    /**
     * prim 普里姆算法
     */
    public void prim() {
        // 最小代价顶点权值的数组,为0表示已经获取最小权值
        int[] lowcost = new int[vertexSize];
        // 放顶点权值
        int[] adjvex = new int[vertexSize];
        int min, minId, sum = 0;

        // 把v0数组赋值给lowcost
        for (int i = 1; i < vertexSize; i++) {
            lowcost[i] = matrix[0][i];
        }

        // 只是单纯的循环，除此之外没有任何用处
        for (int i = 1; i < vertexSize; i++) {
            min = MAX_WEIGHT;
            minId = 0;

            // lowcost数组已更新，所以还要找出lowcost中最小的元素及下标
            for (int j = 1; j < vertexSize; j++) {
                if (lowcost[j] < min && lowcost[j] > 0) {
                    min = lowcost[j];
                    minId = j;
                }
            }

            /**
             * 为什么要找到最小元素和下标？

             * 
             * 因为最小元素代表当前的已知顶点到其它顶点的最短路径，我们要得到这个

             * 最短路径通向的顶点。然后周而复始。

             * 
             * 核心思想:

             * 
             * 从某一顶点开始，找到该顶点周围的最短路径及此路径通向的顶点。

             * 以这两个顶点为准，找到这两个顶点周围的最短路径及此路径通向的顶点。

             * ......最终会通过这个"最短路径算法"走完所有的顶点。
             */

            // System.out.println("顶点：" + adjvex[minId] + "权值：" + min);
            sum += min; // 加权重
            lowcost[minId] = 0;

            // 在v[minId]中找到比lowcost[]中同等位置小的值
            for (int j = 1; j < vertexSize; j++) {
                if (lowcost[j] != 0 && matrix[minId][j] < lowcost[j]) {
                    lowcost[j] = matrix[minId][j];
                    adjvex[j] = minId;
                }
            }
        }
        System.out.println("最小生成树权值和:" + sum);
    }

    public static void main(String[] args) {
        Graph graph = new Graph(9);

        int[] a1 = new int[] { 0, 10, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 11, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT };
        int[] a2 = new int[] { 10, 0, 18, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 16, MAX_WEIGHT, 12 };
        int[] a3 = new int[] { MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 0, 22, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 8 };
        int[] a4 = new int[] { MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 22, 0, 20, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 16, 21 };
        int[] a5 = new int[] { MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 20, 0, 26, MAX_WEIGHT, 7, MAX_WEIGHT };
        int[] a6 = new int[] { 11, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 26, 0, 17, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT };
        int[] a7 = new int[] { MAX_WEIGHT, 16, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 17, 0, 19, MAX_WEIGHT };
        int[] a8 = new int[] { MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 16, 7, MAX_WEIGHT, 19, 0, MAX_WEIGHT };
        int[] a9 = new int[] { MAX_WEIGHT, 12, 8, 21, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 0 };

        graph.matrix[0] = a1;
        graph.matrix[1] = a2;
        graph.matrix[2] = a3;
        graph.matrix[3] = a4;
        graph.matrix[4] = a5;
        graph.matrix[5] = a6;
        graph.matrix[6] = a7;
        graph.matrix[7] = a8;
        graph.matrix[8] = a9;

        graph.prim();
    }
}

克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔算法.png

普里姆算法是按顶点来连通图，而克鲁斯卡尔算法则是按边来构成图。

两个顶点确立一条边，没有问题！所有的边可以从小到大排序，也没有问题！
克鲁斯卡尔算法就是按照这个顺序排好的边来连通图。

规则：
1.找到最小的边。
2.探测边的两个顶点是否会构成回环。
3.如果构成回环则放弃这条边，寻找下一条。
4.如果不构成回环，则记录。再寻找下一条。

整个寻找过程，可以看下图：一点点画的，一定能看懂！

注意：这里面有一个点。探测是否会构成回环！克鲁斯卡尔用一个神奇的数组来完成这个探索！
比如：
v4-v7，权重为7，是最小的边。则记录4号元素为7。也就是说：以起始点为下标，以结束点为值！

[0, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

v2-v8，权重为8
[0, 0, 8, 0, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

如果这时候第3条为：
v2-v1，权重为5。这不就冲突了吗？因为2号位置上已经有元素了。如果发生这种情况，就以该位置上值为位置放置新顶点。也就是：
[0, 0, 8, 0, 7, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

为什么这样做？因为这是最简单的测试回环的方法。
2号位置是8，代表v2和v8相连。8号位置是1，代表v8和v1相连。
如果再有边是v1-v2，那么就构成了回环，一个三角回环。所以理解这个数组很重要！

克鲁斯卡尔算法过程.png

package com.cx.graphtraversal;

public class GraphKruskal {

    private Edge[] edges;
    private int edgeSize; // 边的数量

    public GraphKruskal(int edgeSize) {
        this.edgeSize = edgeSize;
        edges = new Edge[edgeSize];
    }

    public void miniSpanTreeKruskal() {
        int m, n, sum = 0;
        int[] parent = new int[edgeSize]; // 神奇的数组，下标为起点，值为终点
        for (int i = 0; i < edgeSize; i++) {
            parent[i] = 0;
        }
        for (int i = 0; i < edgeSize; i++) {
            n = find(parent, edges[i].begin);
            m = find(parent, edges[i].end);
            if (n != m) { // 代表没有回环
                parent[n] = m;
                System.out.println("起始顶点：" + edges[i].begin + "---结束顶点：" + edges[i].end + "~权值：" + edges[i].weight);
                sum += edges[i].weight;
            } else {
                System.out.println("第" + i + "条边回环了");
            }
        }
        System.out.println("sum:" + sum);
    }

    /**
     * 将神奇数组进行查询获取非回环的值
     */
    public int find(int[] parent, int f) {
        while (parent[f] > 0) {
            System.out.println("找到起点" + f);
            f = parent[f];
            System.out.println("找到终点:" + f);
        }
        return f;
    }

    public void createEdgeArray() {
        Edge edge0 = new Edge(4, 7, 7);
        Edge edge1 = new Edge(2, 8, 8);
        Edge edge2 = new Edge(0, 1, 10);
        Edge edge3 = new Edge(0, 5, 11);
        Edge edge4 = new Edge(1, 8, 12);
        Edge edge5 = new Edge(3, 7, 16);
        Edge edge6 = new Edge(1, 6, 16);
        Edge edge7 = new Edge(5, 6, 17);
        Edge edge8 = new Edge(1, 2, 18);
        Edge edge9 = new Edge(6, 7, 19);
        Edge edge10 = new Edge(3, 4, 20);
        Edge edge11 = new Edge(3, 8, 21);
        Edge edge12 = new Edge(2, 3, 22);
        Edge edge13 = new Edge(3, 6, 24);
        Edge edge14 = new Edge(4, 5, 26);
        edges[0] = edge0;
        edges[1] = edge1;
        edges[2] = edge2;
        edges[3] = edge3;
        edges[4] = edge4;
        edges[5] = edge5;
        edges[6] = edge6;
        edges[7] = edge7;
        edges[8] = edge8;
        edges[9] = edge9;
        edges[10] = edge10;
        edges[11] = edge11;
        edges[12] = edge12;
        edges[13] = edge13;
        edges[14] = edge14;
    }

    class Edge {
        private int begin;
        private int end;
        private int weight;

        public Edge(int begin, int end, int weight) {
            super();
            this.begin = begin;
            this.end = end;
            this.weight = weight;
        }

        public int getBegin() {
            return begin;
        }

        public void setBegin(int begin) {
            this.begin = begin;
        }

        public int getEnd() {
            return end;
        }

        public void setEnd(int end) {
            this.end = end;
        }

        public int getWeight() {
            return weight;
        }

        public void setWeight(int weight) {
            this.weight = weight;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        GraphKruskal graphKruskal = new GraphKruskal(15);
        graphKruskal.createEdgeArray();
        graphKruskal.miniSpanTreeKruskal();
    }
}