实分析随笔（1）Lebesgue定理、Riesz定理与Egoroff定理

定义3.2.1（几乎处处收敛） 设 是在可测集 上定义的一列可测函数，若存在 ，则称 几乎处处收敛于 ，记为 .

定义3.2.2（依测度收敛） 设 是定义在可测集 上的 有限的可测函数，

若 则称 在 上依测度收敛于 ，记为 .

定理3.2.1（Lebesgue） 设 都是 上 有限的可测函数，若 在 上 收敛于 ，则 依测度收敛于 .

Proof 设 是 不收敛的点集， ，由条件 在 上点点收敛于 。 ，易见 ，由 ，定理2.3.3， ，而 ，当 时，由上极限的定义，不能有无穷个点 ，从而在 上 ，故 的极限必在 中，有 从而 ，当 的任意性， .得证。

定理3.2.3（Riesz） 设 是 上 有限的可测函数序列， ，则存在子序列 .

Proof 由于 ，取正数序列 单调递减趋于零，且 ，于是对每个 时， 。不妨设 ，可以证明

记 ，则 且 .

由 ，由定理2.3.3，得到

对于每个 ，不妨设 ，于是 即 . 由 ，有 ，故 得证。

定理3.2.4（Egoroff） 设 是在 上 有限的可测函数序列， 则 且 在 上一致收敛于 .

Proof 类似于定理3.2.1，记 。取单调递减趋于零序列 令 ，记 ，则 ，记 下证 在 上一致收敛。事实上，当 时， 从而 , 于是 ，由 ，于是在 上， 一致收敛于 . 得证。