笔试算法—《多重背包问题》

题目

• N种物品和一个容量为V的背包，第i种物品最多有Mi件可用，每件物品消耗的容量为Ci，价值为Wi，求解入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

思路

• 思路:

• 1，利用二维数据，构造一个表: dp[i][j]表示将前i件物品装进限重为j的背包可以获得的最大价值, 0<=i<=N, 0<=j<=V
  容量数组：V[i] 0<=i<=N
  价值数组：W[i] 0<=i<=N
  物品数量：M[i] 0<=i<=N

  • 1, 用k标识每件物品放入的数量，那么 k=min(M[i],j/V[i]) 就是说如果放入数量达到M[i]件，就不再放入该件物品
  • 2，若 j
  • 3，若果 j> Ci ,装入第i件物品， dp[i][j]=max(dp[i-1][j],max{dp[i-1][j-kV[i]]+kWi})
    注：完全背包就是，用已经放入的物品V[i]总价值kW[i]（kW[i]就是数量乘价值等于总价值）加上剩余容量可以放入的物品价值dp[i-1][j-k*V[i]],
    k在可取范围（0

举例

• 容量为10，有个 3,4,6,2四件物品价格分别为2,1,6,3，数量每件物品限制为3件(也可以每件分布限制数量)。
  第一步：放入物品 3，价值为2: 根据体积可以计算，可以重复放入3，最多放入3件，k=min[3,10/3] ,价值为6。
  
  第二步：放入物品4，价值为1
  （当放入4，根据公式计算，到后面一直到10，最多放入两个4，价值为2，都没有上一步价值高，所以取上面的值）
  
  第三步：放入物品6，价值为6,最多放入1个6，小于限制的数量3，正常放入
  （当放入6，根据公式，到9之后，9-6=3，当前列3下面是2,所以6+2=8
  
  第四步：放入物品2，价值为3
  （当放入2，后到4的时候，查找4-2=2，当前列2下面是3，所以是3+3=6） 放入2个
  （当放入2，后到6的时候，查找6-2=4，当前列4下面是6，所以是3+6=9） 放入3个
  （当放入2，6以及以后最多三个，价值为9，当到10的时候，发现k=2，也就是两个2,10-2*2=6，6下面是6，加上两个2的价值6：6+6=12） 放入:两个2一个6得最大值
  （当放入2，后到10的时候，查找10-2=8，当前列8下面是12，所以是3+12=15）

所以，最终结果为 ： 12

代码

• 递推：

 public static void main(String[] args) {
     
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        //容量
        int W = scanner.nextInt();

        //物品体积
        int[] N = {
     0, 3, 4, 6, 2};

        //物品对应的价值
        int[] V = {
     0, 2, 1, 6, 3};

        //物品对应数量
        int[] P = {
     0, 3, 3, 3, 3};

        int[][] dp = new int[N.length + 1][W + 1];

        for (int i = 1; i < N.length; i++) {
     
            for (int j = 1; j <= W; j++) {
     
                if (j < V[i]) {
     
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
     
                    int k = j / N[i];
                    int max = 0;
                    //c=min(P[i],j/N[i]) 取最大值
                    for (int c = 0; c <= k && c <= P[i]; c++) {
     
                        int result = dp[i - 1][j - c * N[i]] + c * V[i];
                        if (result > max) {
     
                            max = result;
                        }
                    }
                    int result = Math.max(max, dp[i - 1][j]);
                    dp[i][j] = result;
                }
            }
        }

        //输出二维表
        System.out.printf("%3s", "");
        for (int i = 0; i <= W; i++) {
     
            System.out.printf("%3s", i);
        }
        System.out.println();
        for (int i = 0; i < N.length; i++) {
     
            System.out.printf("%3s", N[i]);
            for (int j = 0; j < dp[i].length; j++) {
     
                System.out.printf("%3s", dp[i][j]);
            }
            System.out.printf("%3s", V[i]);
            System.out.println();
        }
        System.out.println(dp[N.length - 1][W]);
    }

- 递归

public  class 多重背包之递归 {
     
    private static int[] V={
     0,3,4,6,2};
    private static int[] P={
     0,2,1,6,3};
    private static int[] M={
     0,3,3,3,3};
    private static int T = 15;

    private Integer[][] results = new Integer[P.length + 1][T + 1];

    @Test
    public void solve2() {
     
        int result = ks2(P.length - 1,T);
        System.out.println("最大价值为：" + result);
    }

    private int ks2(int i, int t){
     
        // 如果该结果已经被计算，那么直接返回
        if (results[i][t] != null) return results[i][t];
        int result = 0;
        if (i == 0 || t == 0){
     
            // 初始条件
            result = 0;
        } else if(V[i] > t){
     
            // 装不下该珠宝
            result = ks2(i-1, t);
        } else {
     
            // 可以装下
            // 取k个物品，取其中使得价值最大的
            for (int k = 0; k <= M[i] && k * V[i] <= t; k++){
     
                int tmp2 = ks2(i-1, t - V[i] * k) + P[i] * k;
                if (tmp2 > result){
     
                    result = tmp2;
                }
            }
        }
        results[i][t] = result;
        return result;
    }
}