基本算法-欧几里德算法（辗转相除法）

作者：Steven
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前言

近期购买了一本《图解算法C++》，回顾复习下算法知识。正好借此机会，将我在复习过程中觉得不错或者容易忘记的算法整理下来，可能会帮助到其他想要学习的人。

本文介绍一种求解最大公约数常用的算法——欧几里德算法，以下是本篇文章正文内容，包括算法简介、原理及证明、算法流程和C++代码实现。

 

一、欧几里德算法简介

欧几里德算法又称辗转相除法，是求解最大公约数常用的一种算法。过程：假设有A和B两个值，A大于B，用其中较大的数A除以较小的数B，再将较小的数B除以得到的余数C（第一次除法所得），又得到一个余数D（第二次除法所得），如此类推，直到最后余数为0时终止该过程，最后的余数就是A和B的最大公约数。

 

二、基本原理及证明

1.基本原理

两个数的最大公约数是可以同时整除这两个数的最大正整数。 

设两个数为a、b（a≥b），求a和b最大公约数（Greatest common divisor）gcd(a,b)的步骤如下：

1. a除以b，得a÷b=q........r1（r1≥0），r1为第一次的余数；
2. 若r1=0，则gcd(a,b)=b;
3. 若r1≠0，再用b除以r1，得余数r2；
4. 如此反复，直到某余数等于0，则该余数就是我们所找的最大公约数gcd(a,b)。

2.证明

同样设两个数a和b（a≥b），gcd(a,b)表示两数的最大公约数，r=a mod b，r为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k......r。

欧几里德算法能求解最大公约数的原理其实就是证明gcd(a,b)=gcd(b,r)，即a和b的最大公约数和b和r的最大公约数是一个。

证明过程如下：

1. 令c=gcd(a,b)，设a=mc，b=nc；
2. 由a÷b=k......r可得r=a-kb=mc-knc=(m-kn)c；
3. 第二步不难看出，c也是r的因数；
4. 列出b=nc和r=(m-kn)c，如果n和m-kn互质，即两者公约数只有1，则表明c是b和r的最大公约数，后续证明n和m-kn互质；
5. 假设m-kn和n不是互质，两者有一非零的最大公约数d，且d＞1；
6. 则有m-kn=xd，n=yd，得m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，则a与b的一个公约数cd＞c，故c不是a与b的最大公约数，这与前面提到的c是a与b的最大公约数假设矛盾；
7. 故m-kn和n为互质，即c是b和r的最大公约数，且是a和b的最大公约数，得证。

 

三、算法描述及流程图

欧几里德算法求解正整数a和b的最大公因数gcd(a,b)，假设a≥b：

a除以b，若a mod b=0，则gcd(a,b)=b；否则gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，递归或循环运算得结果。

算法流程图如下：

 

四、C++代码实现

// 欧几里德C++实现伪代码
if ( num1 < num2 )
{
    temp = num1;
    num1 = num2;
    num2 = temp;
}
// 确保num2是较小值，num1是较大值

while ( num2 != 0 )       // 欧几里德算法过程，直到num2(余数)为0时结束循环过程
{  
    temp = num1 % num2;   // 计算余数
    num1 = num2;
    num2 = temp;          // 将余数作为下一轮的除数
}

std::cout<<"最大公约数为："<

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总结

以上就是本文所讲的内容，简单介绍了欧几里德算法的原理和实现。