第十一届蓝桥杯省赛第一场C++A/B组真题题解：T3走方格

题目描述

在平面上有一些二维的点阵。

这些点的编号就像二维数组的编号一样，从上到下依次为第 1 至第 n 行，从左到右依次为第 1 至第 m 列，每一个点可以用行号和列号来表示。

现在有个人站在第 1 行第 1 列，要走到第 n 行第 m 列。

只能向右或者向下走。

注意，如果行号和列数都是偶数，不能走入这一格中。

问有多少种方案。

算法思想一（记忆化搜索）

根据题目描述，要计算的是第 1 行第 1 列、走到第 n 行第 m 列的合法方案。那么可以如下求解：

• 不妨用f[i][j]记录从$(i,j)$出发走到第 $n$ 行第 $m$ 列的合法方案数。由于只能向右或者向下走，因此：$f[i][j]=f[i+1][j]+f[i][j+1]$
• 又因为不能走入行号和列数都是偶数的格子，所以当i和j同时为偶数时，$f[i][j]=0$。
• 对于f[n][m]来说，如果n和m同时为偶数时，$f[n][m]=0$；否则$f[n][m]=1$。

代码实现一（记忆化搜索）

#include 
using namespace std;
int n, m; 
//f[i][j]表示从(i,j)出发，到达(n,m)的合法方案数
int f[35][35];

//记忆化搜索，从(x,y)点出发到达(n,m)的合法方案数
int dfs(int x, int y)
{
     
    //如果x、y不同时为偶数
    if(x & 1 || y & 1)
    {
     
        //已经搜索过，直接返回结果
        if(f[x][y]) return f[x][y];
        //在合法情况下，递归求解
        if(x < n) f[x][y] += dfs(x + 1, y);
        if(y < m) f[x][y] += dfs(x, y + 1);
    }
    //如果 x, y 都是偶数，那么 f[x][y] 就没被处理过，必然为 0
    //否则，返回计算后的值
    return f[x][y];
}

int main()
{
     
    cin >> n >> m;    
    //初始化f[n][m]，如果n和m为偶数，则为0；否则为1
    f[n][m] = n & 1 || m & 1;    
    cout << dfs(1, 1) << endl;    
    return 0;
}

算法思想二（动态规划）

状态表示

f[i][j]表示从$(1,1)$出发走到第 $i$ 行第 $j$ 列的合法方案数。

状态计算

• 由于只能向右或者向下走，因此：$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]$
• 又因为不能走入行号和列数都是偶数的格子，所以当i和j同时为偶数时，$f[i][j]=0$。

初始状态

• $f[1][1]=1$

代码实现

#include 

using namespace std;

const int N = 50;
int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
     
    cin >> n >> m;
    f[1][1] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
        {
     
            if(i == 1 && j == 1) continue;
            if(i % 2 == 0 && j % 2 == 0)
            {
     
                f[i][j] = 0;
                continue;
            }

            f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
        }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}