找到序列中第k个数、前k个数

  • 有序数列第n个数
    参考文档
    1、用快速排序的步骤进行找,二分,但是最坏的情况是O(n^2),好的情况是O(n),平均情况是O(logk)
    2.最坏的情况是每次都找到边缘的数,无法将整个序列扔掉大部分,我们要找到分开序列较好的那个数。可以在前2/3的序列中找到中点,那么这一点可以将序列分成一部分为1/3和一部分为2/3。
    时间复杂度的递推式是:T(n) ≤ 2T(2n / 3) + Θ(n),根据主方法,有时间复杂度为:O(nlog3/22)≈O(n^1.26 )

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    An Initial Insight

    3.第三种太恶心了,看不下去。

  • 无序数列前n个数
    方法一:常规解法,先排序(时间复杂度为O(NlogN))
    方法二:利用快速排序原理(时间复杂度O(N)
    这里跟快速排序有所不同,快速排序平均时间复杂度为O(NlgN),因为它需要递归调用两个部分,而寻找第K小的元素只需要考虑其中的一半。
    这里的时间复杂度是平均时间复杂度??,这个时间复杂度是怎么算出来的??
    方法三:利用最小堆的原理(时间复杂度为O(N
    logK))
    参考文档

2)用大小为K的数组存前K个数,然后找出这K个数中最大的数设为kmax,用时O(K)。遍历后面的N-K个数,如果有小于kmax的数,则将其替换kmax,并从新的K个数中重新选取最大的值kmax,更新用时O(K)。所以总的时间为O(NK)。
3)一个更好的方法是建堆。建立一个包含K个元素的最大堆,将后续的N-K每个数与堆顶元素比较,如果小于堆顶元素,则将其替换堆顶元素并调整堆得结构维护最大堆的性质,最后堆中包含有最小的K个元素,从而堆顶元素就是第K小的数。建堆的时间为O(K),每次调整最大堆结构时间为O(lgK),从而总的时间复杂度为O(K + (N-K)lgK)。

注意,堆的建立时间为O(K),如果仔细算的话,大致算是O(KlogK)。

首先维护一个n个数大小的数组,排成最小堆的结构,然后对所有数都逐一进行比较,选较大的数进来,时间复杂度为:O(K + (N-K)lgK),若K比较小,近似O(NlogK)

方法五:用空间换取时间的方法
线性排序

  • 什么?排序树查找第k个元素平均时间复杂度可以为O(lgn)?|树

快速排序算法及找到第k个数(Python)

def quicksort(data,start,last):
    mid_index = partition(data,start,last)

    if start < mid_index-1:
        quicksort(data,start,mid_index-1)

    if mid_index+1 < last:
        quicksort(data,mid_index+1,last)


def partition(data,start,last):
    if data is None:
        return None
    if start < 0 or last < 0:
        return None
    if last <= start:
        return start

    mid_num = data[start]
    while start < last:
        while start < last and  mid_num <= data[last]:
            last -= 1

        data[start] = data[last]

        while start < last and data[start] <= mid_num:
            start += 1

        data[last] = data[start]

    data[start] = mid_num
    return start

def main():
    data = [2,4,1,3,9,8]
    quicksort(data,0,len(data)-1)
    print(data)


if __name__ == '__main__':
    main()

Partition还可以用来查找第k个数

def find_nth_max(data,n):
    if len(data) < n:
        return None

    n -= 1
    start = 0
    last = len(data)-1
    mid_index = partition(data,start,last)

    while mid_index != n:
        if mid_index < n:
            start = mid_index + 1
        else:
            last = mid_index - 1

        mid_index = partition(data, start, last)

    return data[mid_index]

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