（7.7）James Stewart Calculus 5th Edition：Approximate Integration

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Approximate Integration 近似积分

黎曼求和，我们把对应的[a, b]分成n份，每份大概为 Δx = (b - a)/n
这个时候，有：

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我们可以用左边的顶点求和，为：

对应的图像为：

或者，我们用右边的顶点求和，为：

对应的图像为：

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当我们用中点去求近似的时候，会比左边，右边要更好

Midpoint Rule 中点原则

原则定义：

Trapezoidal Rule 梯形原则

原则定义：

这里，我们可以通过

化简为上面的公式

例子

一些例子，
因为比较简单，只是应用，这里就截个图

例子1

这里分别用 梯形原则 ， 中点原则 求值
n为5的时候，带入即可：

对应的图像为：

对应的 中点原则 求值，为：

对应的图像为：

我们通过积分，求得对应的真实值为：

这个时候，我们对比一下对应的error误差：
(Et 表示 Trapezoidal Rule 梯形原则的误差， Em 表示 Midpoint Rule 中点原则的误差）

根据上面的值，我们可以得到，对应的值大约为：

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例子1的地方，
我们用 L 表示左顶点求值， R表示右顶点求值， T表示梯形求值， M表示中点求值
我们可以得到对应n的时候，对应的值

根据上面的近似值，可以得到对应的相对误差E

我们可以通过表格发现，对应的 L， R， 没有 T 和 M相对误差小

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Error Bounds 误差范围

对应的误差范围：

例子2

根据上面的公式，这里 根据

可以得到：

最后得到结果：

即：

所以， n = 41的时候， 可以满足对应的精度。

同理， 对 Midpoint Rule 中点原则
有：

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例子3

（a）我们当 a = 0，b = 1，n = 10， 和 中点原则 可以有：

（b）我们可以得到

可以求得：

根据上面的公式，可以得到：

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Simpson’s Rule 辛普森法则

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例子4

简单套 Simpson’s Rule 辛普森法则 公式，

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Error Bound for Simpson’s Rule

这里当2次翻倍的时候，也就是4次求导
可以得到对应的 辛普森法则， 求出 辛普森法则 的误差范围

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例子6

这个时候，我们要对应的进度到达0.0001
我们先多次求导，可以得到：

这里因为自变量范围是在1和2之间，所以

根据上面的公司，有不等式：

有：

即：