信号处理--傅里叶变换的性质及常用信号的傅里叶变换

一、前言

傅里叶变换的定义式

函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内f(t)绝对可积，但它并非必要条件。

当引入广义函数的概念后，许多不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换，这给信号与系统分析带来很大方便。

二、傅里叶变换的性质

三、奇异函数的傅里叶变换

1、冲激函数的频谱

方法一：根据傅里叶变换的定义式，并且考虑到冲激函数的取样性质，得

    其频谱密度在-∞

方法二：应用广义极限的概念，单位冲激函数δ(t)是幅度为1/τ，脉宽为τ的矩形脉冲当τ→0的广义极限，因而可以写为

  门函数的傅里叶变换

  因而

  所以

2、冲激函数导数的频谱

  冲激函数导数定义式为

  其中φ(t)为检验函数，φ(t)是急降的。
  按广义函数理论，由于选取了性能良好的检验函数空间 Φ，广义函数的各阶导数都存在并且仍属于缓增广义函数空间 Φ’。

  根据定义，冲激函数的一阶导数δ’(t)的频谱函数为

  即δ’(t)的频谱函数为

3、单位直流信号的频谱

  幅度等于1的直流信号可表示为 f(t)=1, -∞ < t < ∞
  显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换却存在。
  根据傅里叶变换的性质（对称性），可得

4、符号函数的频谱

  符号函数记作sgn(t)，它的定义为

  显然，该函数也不满足绝对可积条件。
  函数sgn(t)可看作是

  当α趋于0时的极限，因此其频谱函数也是f1(t)的频谱函数F1(jw) 当α趋于0时的极限。

  它是ω的奇函数，在ω=0处F1(0)=0，因此当α趋近于零时，有

  于是得

5、阶跃函数的频谱

  单位阶跃函数u(t)也不满足绝对可积条件。它可看作是幅度为½的直流信号与幅度为½的符号函数之和，即

  对上式两边进行傅里叶变换，得

四、常用信号的傅里叶变换表