数学公式之求 log2(1+x)-x的积分

为了算神奇数字0x5F3759DF，有一步绕不开，那就是求$${\int }_0^1[lo{g}_2(1+x)-x]dx\text{\hspace{1em}(0)}$$ 为此，我们将详细探究这个一下这个函数$$F(x)=lo{g}_2(1+x)-x\text{\hspace{1em}(1)}$$

0. 准备工作

首先， 准备两个数字：$$ln2=0.693147180$$ $$\frac{1}{ln2}=1.442695041$$

1.画出$F(x)$图像

2. 画出其导数图像

$$F^{\prime }(x)=\frac{1}{ln2}\times \frac{1}{1+x}-1\text{\hspace{1em}(2)}$$

3. 求$F^{\prime }(x)$在[0, 1]上的零点以及对应F(x)的极值

由(2)式，令$F^{\prime }(x)=0$，求出$$x_0=\frac{1}{ln2}-1=0.442695\text{\hspace{1em}(3)}$$ 对应的把x0带入F(x)，就求出其在[0,1]上的极大值就是$$F(x_0)=1-\frac{ln(ln2)+1}{ln2}=0.086071\text{\hspace{1em}(4)}$$ $x_0$,$F(x_0)$均可以在以上两张图得到验证

4. 求$F(x)$在[0, 1]上的积分

（数学好的直接跳过，看这一部分最后的结果(7)式即可）
$${\int }_0^{1}F(x)dx={\int }_0^1[lo{g}_2(1+x)-x]dx$$ $${\int }_0^{1}F(x)dx={\int }_0^{1}lo{g}_2(1+x)dx-{\int }_0^{1}xdx\text{\hspace{1em}(5)}$$
因为${\int }_0^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_{x=0}^{x=1}=\frac{1}{2}$, 因此我们只需要计算的是前半部分${\int }_0^1{F}_1(x)dx={\int }_0^{1}lo{g}_2(1+x)dx$即可。
$${\int }_0^1{F}_1(x)dx={\int }_0^{1}lo{g}_2(1+x)dx$$ $$={\int }_0^1\frac{ln(1+x)}{ln2}dx$$ $$=\frac{1}{ln2}{\int }_0^{1}ln(1+x)dx$$
注意接下来用了分部积分法

$$=\frac{1}{ln2}\times [ln(1+x)\times x-\int xd[ln(1+x)]]$$ $$=\frac{1}{ln2}\times [ln(1+x)\times x-\int \frac{x}{1+x}dx]{|}_{x=0}^{x=1}$$ $$=\frac{1}{ln2}\times [ln(1+x)\times x-\int (\frac{1+x}{1+x}-\frac{1}{1+x})dx]{|}_{x=0}^{x=1}$$ $$=\frac{1}{ln2}\times [ln(1+x)\times x-\int 1dx+\int \frac{1}{1+x}dx]{|}_{x=0}^{x=1}$$ $$=\frac{1}{ln2}\times [ln(1+x)\times x-x+ln(1+x)]{|}_{x=0}^{x=1}$$ $$=\frac{1}{ln2}\times [ln(1+x)\times (1+x)-x]{|}_{x=0}^{x=1}$$ $${\int }_0^1{F}_1(x)dx=\frac{1}{ln2}\times (2ln2-1)\text{\hspace{1em}(6)}$$ 综上，结合(3)(4)式，$${\int }_0^{1}F(x)dx=\frac{1}{ln2}\times (2ln2-1)-\frac{1}{2}$$$${\int }_0^{1}F(x)dx=\frac{3}{2}-\frac{1}{ln2}=0.057304959\text{\hspace{1em}(7)}$$