连续时间信号的抽样及其重建

  现研究一连续信号进行抽样转换为数字信号，经数字信号处理器(DSP)或计算机处理后，再进行重建的过程，具体过程如下：

其中采样/保持电路和A/D转换电路可以看做是一个理想抽样的过程，而D/A转换和平滑录播可以看做是一个理想内插的过程。

  假设理想抽样信号为
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)$$
其中$T_s$为抽样的周期。那么模拟信号$x_a(t)$经理想抽样后得到的抽样信号${\hat{x}}_a(t)$为
$${\hat{x}}_a(t)=x_a(t)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)$$
设信号$x_a(t)$的傅里叶变换为$X_a(j\Omega )$,并且其最高频率为${\Omega }_m$,现研究抽样信号${\hat{x}}_a(t)$的傅里叶变换。
$$\begin{array}{rl}{\hat{X}}_a(j\Omega )=F[{\hat{x}}_a(t)]& =F[x_a(t)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)]\\ & =\frac{1}{2\pi }X(j\Omega )\ast \frac{2\pi }{T_s}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (\Omega -n{\Omega }_s)\\ & =\frac{1}{T_s}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(j(\Omega -n{\Omega }_s))\end{array}$$
其中${\Omega }_s=\frac{2\pi }{T_s}$。

  从上式中就可以看出抽样信号的频谱是原信号频谱的周期延拓。

要保证频谱在周期延拓时不发生混叠，那么就要求
$${\Omega }_s-{\Omega }_m\ge {\Omega }_m\Rightarrow {\Omega }_s\ge 2{\Omega }_m$$
  把${\Omega }_s=2{\Omega }_m$称为奈奎斯特采样频率，这是频谱不发生混叠允许的最小采样频率，此时可以通过一低通滤波器将信号恢复出来，若频谱发生了混叠，则很难将信号重建出来。

  考虑信号的重建，由频谱图可知，通过一低通滤波器即可将信号完全的恢复出来，假设以频率${\Omega }_s>2{\Omega }_m$进行抽样，考虑这么一个低通滤波器：

其傅里叶反变换为
$$h_{LP}(t)=sinc(\frac{t}{T_s})$$
其中$sinc(t)=\frac{sin(\pi t)}{\pi t}$

  由频谱关系知
$$X(j\Omega )={\hat{X}}_a(j\Omega )\cdot H_{LP}(j\Omega )$$
所以
$$\begin{array}{rl}{x}_a(t)& ={\hat{x}}_a(t)\ast h_{LP}(t)\\ & =x_a(t)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)\ast h_{LP}(t)\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x}_a(n{T}_s)\delta (t-n{T}_s)\ast sinc(\frac{t}{T_s})\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x}_a(n{T}_s)sinc(\frac{1}{T_s}(t-n{T}_s))\end{array}$$
这就是信号的重建，这个过程也被称为理想内插过程。