单调多边形的三角剖分

单调多边形的三角剖分

问题描述

单调多边形指存在一个方向，垂直于此方向的所以扫描线与多边形只有两个交点。
这里讨论垂直方向单调多边形的三角剖分。

为方便描述，这里没有水平的边。

规律1: 同侧端点不可能出现跨越

把多边形从最高点到最低点处剖开，分成左右两链，其中任何一条链，端点都是按y值顺序排列的。
也就是说，下面的端点不可能高于上面的端点，否则，与y值方向的单调性相违背。
如图：D高于C时，显然在C处的水平线会再次与此链相交。

规律2:异侧相邻

如果两个端点，在竖直方向上相邻的，但不在同一侧，即分别在左右两条链上，那这两点相连不会与其它边相交。
如下图，B与G在竖直方向相邻，那BG不会与其它边相交。
因为B,G已经相邻，即中间没有其它端点，如果存在一边与BG相交，那它一定有一端点在B上方，另一端点在G下方，否则不可能与BG相交。
由于规律1，端点连接不可能出现跨越的情况，即上方的端点不可能跨越B或者G与下方的点相连，即这样的边不存在。
所以BG是可以增加连线的。

同侧相邻端点处理

对异侧相邻点添加连线后，多边形会被划分为多个子多边形。每个子图都是这样的：一侧剩下相邻的点，另外一侧只有一条边，连接的是最高点与最低点。
同侧相邻的点相连可能会超出多边形，所以对于同侧相邻的三个点不能直接相连，而是要判断其它内角，如果小于$180^{\circ }$，那连线就在多边内部，而且不可能与另外一边相交。

以上图为例，连接ID，ID不但在多边形内部，而且，不可能与HK相交，因为HK在$△DEI$外部，如果与ID相交，必然与DEI相交。

倒置漏斗

经过上面的处理，图形将变成倒置漏斗状，如图：

此时的左下角必然是一个小于$180^{\circ }$的角，否则会产生矛盾。

假设左下角，即 $\angle PQS>180^{\circ }$， 则$\angle RQS>180^{\circ }$，意味着Q会出现在RS的右侧，这显明是不可能的，所以左下角一定小于$180^{\circ }$,于是可以大胆地将PS连接起来，
类似地，剩下的端点，O,N,M,L，也可以与S连接起来。
于是完成了整个多边形的三角剖分。