B-Tree 和 B+Tree

一、什么是B-Tree

B-Tree又叫做B树，和平衡二叉树不同的地方在于B树是多叉树(平衡多路查找树)，Oracle和MongoDB的索引技术就是基于B树的数据结构，B树也可以看作是对查找树的一种扩展。

一个m阶的B-Tree有以下性质：

• 每个节点最多有m个子节点
• 每个非叶子节点（根节点除外）至少含有m/2个子节点
• 如果根节点不是叶子节点，那么根节点至少有两个子节点
• 每个节点上，所有的关键字都是有序的，从左到右，依次从小到大排序
• 每个关键字的左子树的均值小于当前关键字，右子树的均值大于当前关键字
• 每个节点都存有索引和数据
• 对于一个非叶子节点而言，它最多能存储m-1个关键字
• 所有叶子节点位于同一层
  

1.B-树插入

对于一个m阶B树，新节点一般是插在叶子层，但是需要根据实际的情况考虑是否需要裂变。

• 若该节点中关键码个数小于m-1,则直接插入
• 若该节点中关键字个数等于m-1,则将进行分裂，以中间关键字为界点将节点一分为2，产生一个新的节点，并把中间那个关键字插入到父节点中，继续判断父节点的关键字个数是否等于m-1，依次判断是否分裂，最坏情况下可一直分裂到根节点，整个树增加一层。

2.B-树删除

B树的删除也非常复杂

• 如果关键字所在节点的原关键树>=(m/2),说明删除后仍可满足B树的结构，可以直接干掉。
• 如果被删除后不再满足B树的结构，则需要一定的调整过程：
• 如果其左右兄弟节点中有多余的关键字，即与该节点相邻的节点中关键字的数目大于（m/2）-1,就会将兄弟节点中的最大（左兄弟）或者最小（右兄弟）移到夫节点上，然后将双亲节点中小于（右兄弟的上移）或者大于（左节点上移）关键字的关键字下移到被删关键字的节点中。
• 如果其左右兄弟都没有多余关键字的时候，情况将变得非常非常复杂；需把删除关键字节点与其左（或者右）兄弟节点中的关键字合并到（父节点指向该删除关键字节点的左（右）兄弟节点的指针）所指向的兄弟节点中去，如果因此父节点中的关键字个数小于规定值，则需要对父节点做同样的处理，最坏情况下会使得整个树减少一层。

3.总结

B树相对于平衡二叉树的不同是，每个节点包含的关键字增多了，特别是在B树应用到数据库的时候，数据库充分利用了磁盘块的原理（磁盘数据存储是采用块的形式存储的，每个块的大小为4K，每次IO进行数据读取时，同一个磁盘块的数据可以一次性读取出来）把节点大小限制和充分使用在磁盘块大小范围；把树的节点关键字增多后树的层级比原来的二叉树少了很多，大大减少了数据查找和比较的次数，提高了效率。

二、什么是B+Tree

B+Tree中如果有N个关键字则会拥有n个分支，而B树中n个关键字的节点包含n+1个分支。

B+Tree中，每个非根节点中的关键字个数是>=（m/2）且<=m，而B树是>=（m/2）-1且<=(m-1)。

B+Tree中根节点的关键字个数是>=1且<=m,而B树是>=1且<=(m-1)。

B+树是B树的一个升级版，因为B+Tree非叶子节点不存储关键字记录的指针，所以其相对于B树来说B+树更充分的利用了节点的空间，让查找速度更加稳定，其速度完全接近于二分查找。

1. B+树的非叶子节点不对关键字记录的指针进行保存，只进行数据索引，使得B+树非叶子节点能保存关键字的能力大大提升，而且树的层级会更少；
2. B+树叶子节点保存了其父节点的关键字记录的指针，所以每次查询必须到叶子节点才能真正获取到相关数据，而且平很多叉树的特点是所有子节点的层级相差不会超过一，所以查询速度相对是非常稳定的；
3. B+Tree树叶子节点的关键字从小到大有序排列，左边结尾数据都会保存右边节点开始数据的指针；
4. 非叶子节点的子节点树=关键字数。
   

1.B+树插入

插入操作全部在叶子节点中进行

1. 若为空树，创建一个叶子节点，然后将记录插入，同时这个叶子节点也是根节点；
2. 若被插入的关键字所在的节点，其含有的关键字数目小于m，则直接插入；
3. 若被插入关键字所在的节点的关键字数等于m的时候，则需要分裂为两个节点，并将m/2的关键字上移到父节点中，同时判断父节点的关键字个数是否大于m，如果需要分裂继续按照上面的流程进行分裂。

2.B+树删除

1. 如果要删除关键字所在节点的关键字个数，如果大于m/2，直接删除即可；
2. 当删除关键字所在节点的关键字个数等于m/2的时候，若兄弟节点中含有多余的关键字，也可从兄弟节点中借用关键字完成删除操作；
3. 若兄弟节点没有多余的关键字，则需要与其他兄弟进行合并；
4. 如果合并后导致父节点不再符合B+树的结构，则需要按照上面的规律进行再次结构的调整；
5. 注意B+树的结构（非叶子节点会存储索引信息，叶子节点才会存储数据指针），修改完后还需修改其父节点中的索引值。

3.总结

1. B+树的层级更少；
2. B+树查询速度更加稳定；
3. B+树天然具备排序功能，由于B+树所有的叶子节点数据构成了一个有序链表，在查询范围区间数据的时候会更加方便，数据紧密性很好高；
4. B+树全节点遍历更快：B+树遍历整棵树只需要遍历所有的叶子节点即可，而B树需要对每一层进行遍历，所以B+树更有利于全表扫描；