数论欧拉函数基础

欧拉函数

目录：
1.欧拉函数的定义
2.欧拉函数的通式
3.欧拉函数的性质
4.欧拉函数的单个求法
5.欧拉函数的打表求法
6.例题

1.欧拉函数的定义

欧拉函数，记作$\phi (n)$，是闭区间$[1,n]$中与n互质的数的个数，例如，$\phi (12)=4$，因为1，5，7，11与12互质

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2.欧拉函数的通式

$\phi (x)=x(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\dots \dots (1-\frac{1}{p_n}),x\ne 1$

$\phi (x)=1,x=1$

其中，$p_i$表示x用唯一分解定理分解后的所有质因数

其实很好理解，因为如果两个数互质，说明它们没有共同的质因数，$[1,n]$内共有n个数，$(1-\frac{1}{p_k})$表示[1,n]内没有$p_k$这个质因数的数的比例，例如12，它的质因数是2，3,则$(1-\frac{1}{2})$表示有一半的数都是没有2这个质因数的，$(1-\frac{1}{3})$表示有三分之二的数都是没有3这个质因数的，这样不断筛选下来最后剩下的个数就是与n互质的个数了.(也可以用容斥原理进行证明)

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3.欧拉函数的性质

以下性质通过上述对通式的解释都很好证明 ?

• （一）对于任何质数$x$，$\phi (x)=x-1$

• （二）如果$x$，$y$互质，$\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)$,满足积性函数的性质

• （三）如果$x$是奇数，$\phi (2x)=\phi (x)$

• （四）如果$x$是质数，对于任意正整数$a$，都有： $\phi (x^a)=x^a-x^{a-1}=(x-1)x^{a-1}$

• （五）如果$x>2$，则$\phi (x)$是偶数

• （六）$[1,x]$中与$x$互质的所有数的和为$\frac{(\phi (x)\ast x)}{2}$

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4.欧拉函数的单个求法

利用通式的含义，筛出质因子并不断作乘法

int phi(int n)
{
     
    int res=n;
    for (int i=2;i*i<=n;i++)
    {
     
        if (n%i==0)
        {
     
            res=res/i*(i-1);//先进行除法防止中间数据的溢出
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    }
    if (n>1)res=res/n*(n-1);
    return res;
}

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5.欧拉函数的打表求法

1.如果用求n次的单个欧拉函数的话时间复杂度是$O(n\sqrt{n})$，不是很优的算法

2.下面这个算法的时间复杂度$O(nlog(n))$也蛮好理解的，当一个数的phi[i]=i时，说明其在之前的循环过程中尚未发现它的质因子，就从它开始把它的倍数都进行乘法处理

3 还有一种线性筛法，时间复杂度是$O(n)$的

(一)递归打表

const int maxn=3e6+7;
int phi[maxn];
void phi_init()
{
     
    phi[1]=1;
    repp(i,2,maxn)phi[i]=i;
    repp(i,2,maxn)
    {
     
        if (phi[i]==i)
        {
     
            for (int j=i;j<maxn;j+=i)
            {
     
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}

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（二）线性筛打表

$$当p是质数\{\begin{array}{l}1.\phi (ip)=\phi (i)\ast p，i\%p=0\\ 2.\phi (ip)=\phi (i)\phi (p),i,p互质\end{array}$$

第一条证明：
设$ip=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}{p}_3^{k_3}\dots \dots p_n^{k_n}$，由于$i\%p==0$，所有p的质因子都属于$p_i（1<=i<=n）集合内$，根据欧拉函数的通式可得:$\phi (ip)=ip(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})\dots \dots (1-\frac{1}{p_n})$，可得$i(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})\dots \dots (1-\frac{1}{p_n})=\phi (i)$,证毕
第二条证明：见博客?

int phi[maxn];
bool prime[maxn];//prime[i]=true表示i是质数
int primenum[maxn];//质数集合
int m=0;
void phi_init()
{
     
    phi[1]=1;
    memset(prime,true,sizeof prime);
    prime[0]=prime[1]=false;
    repp(i,2,maxn)
    {
     
        if (prime[i])
        {
     
            primenum[m++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=0;j<m&&primenum[j]*i<maxn;j++)
        {
     
            prime[i*primenum[j]]=false;
            if (i%primenum[j]==0)
            {
     
                phi[i*primenum[j]]=phi[i]*primenum[j];//第一条
                break;//这里的break参考质数的线性筛解释
            }
            phi[i*primenum[j]]=phi[i]*phi[primenum[j]];//第二条
        }
    }
}

放一下质数线性筛做个对比

bool prime[maxn];
int m=1;
int primenum[maxn];
void prime_init()
{
     
    memset(prime,true,sizeof prime);
    prime[0]=prime[1]=false;
    rep(i,2,maxn)
    {
     
        if (prime[i])primenum[m++]=i;
        for (int j=1;j<m&&i*primenum[j]<=maxn;j++)
        {
     
            prime[i*primenum[j]]=false;
            if (i%primenum[j]==0)break;
        } 
    }
}

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（六）例题

1.LightOJ - 1370
题意：给出n个数$x_i$，求${\sum }_{i=1}^n{a}_i$，$a_i$满足$\phi (a_i)>=x_i$
做法：预处理欧拉函数打表

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
#define pb push_back
#define rep(x,a,b) for (int x=a;x<=b;x++)
#define repp(x,a,b) for (int x=a;x
#define W(x) printf("%d\n",x)
#define WW(x) printf("%lld\n",x)
#define pi 3.14159265358979323846
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define lson rt<<1,l,mid
#define rson rt<<1|1,mid+1,r
using namespace std;
const int maxn=1e6+7;
const int INF=1e9;
const ll INFF=1e18;
int prime[maxn];
int primenum[maxn];
int phi[maxn];
void phi_init()
{
     
    int m=0;
    rep(i,1,maxn)prime[i]=1;
    prime[0]=prime[1]=0;
    phi[1]=1;
    repp(i,2,maxn)
    {
     
        if (prime[i])
        {
     
            primenum[m]=i;
            m++;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=0;j<m&&i*primenum[j]<maxn;j++)
        {
     
            prime[i*primenum[j]]=0;
            if (i%primenum[j]==0)
            {
     
                phi[i*primenum[j]]=phi[i]*primenum[j];
                break;
            }
            phi[i*primenum[j]]=phi[i]*(primenum[j]-1);
        }
    }
}

int main()
{
     
    phi_init();
    int t,n,a;
    scanf("%d",&t);
    rep(K,1,t)
    {
     
        scanf("%d",&n);
        ll sum=0;
        rep(i,1,n)
        {
     
            scanf("%d",&a);
            for (int j=a+1;j<maxn;j++)
            {
     
                if (phi[j]>=a)
                {
     
                    sum+=j;
                    break;
                }
            }
        }
        printf("Case %d: %lld Xukha\n",K,sum);
    }
    return 0;
}