求列向量的一范数_矩阵理论-1范数、2范数、无穷范数的通俗理解？

​引言

很多人学完了矩阵理论或者数值分析，脑海里还是蒙的，有些比较基础的东西至今还没有一个深刻的理解，就比如矩阵理论中1范数、2范数，以及无穷范数代表什么含义呢？

范数的理解

我们来讲个故事，保证大家能够明白，这里主要是以向量范数为例。假设小花要选男朋友，她想在小强和小刚之间选。

第1种情况，小花的选择标准只有一个，即身高。

那么，小强的身高是1.7米，小刚的身高是1.8米，所以她会选小刚(这里假如女孩子喜欢高一点的男孩子)。

第2种情况，小花的择偶标准有两个，即身高和月收入。

假如小强的月收入为2万，小刚为1万。那么在小花的眼中，小强={1.7，2}，小刚={1.8，1}。

可是，这怎么比呢？

于是，小花想出了一个办法，更方便度量，就是综合收入和身高的平均值，她的办法是画出坐标系，看最终谁的点离原点点更远。

所以通过勾股定理，可以求得小强更远，所以她选择了小强。

换句话也就是说，范数可以等于点到坐标零点的距离。

是不是很清新，是不是很明了？

所以通俗的说，范数就是为了方便度量而定义出的一个概念，主要就是面对复杂空间和多维数组时，选取出一个统一的量化标准，以方便度量和比较。请务必记住，范数是人为定义的一种度量方法。

那么，如果一个向量里元素更多。例如，小花的择偶标准里再加上性格评分，以及身体素质评分，就变成了(1.7, 2.0, 4.0, 5.8 )这样形式的向量，维度又增加了。

所以，我们还可以定义更多的统一度量标准。

1范数、2范数、无穷范数(向量范数)

这三种不同的范数都是不同的度量方法。

(0范数，向量中非零元素的个数，这里不解释)

1范数：所有元素绝对值的和。

2范数：所有元素平方和的开方。

无穷范数：正无穷范数：所有元素中绝对值最小的。负无穷范数：所有元素中绝对值最大的。

║x║∞=max(│x1│，│x2│，…，│xn│)

《武林外传》里一段台词用来解释这几个范数或许是最生动的了。

佟湘玉有一天在同福客栈说：“额滴神呐，展堂，你说隔壁的赛貂蝉有什么好。”

老白：“她没没你温柔，没你贤惠，没你大气，没你端庄。”

佟湘玉：“那为啥你们总往她那跑呢?”老白：“因为他的相貌是满分啊”。

看到没有？

如果用2范数来衡量赛貂蝉和佟湘玉，那么可以说佟湘玉并不占下风，但是压不住人家赛貂蝉有一个满分啊，也就是说，从无穷范数的角度来看，赛貂蝉的稳稳超过佟湘玉的。

再看一个辩题“当今社会更需要通才还是专才”。通才是1范数2范数比较大，而专才就是无穷范数比较大。

是不是一下子就整明白了，最后，记住，范数是比较向量/矩阵是否“优秀”的一种标准而已。为了加深印象大家还可以使用MATLAB去编程计算一下。

最后我们讲一下范数对于数学的意义，范数其实就是从数学本质上描述了“什么叫空间”，它不再是我们日常生活对话里的“空间”了。它从更深刻的角度来洞察我们这个世界，下次你一看到空间，你一给你家装修，搞空间艺术，你是不是马上就会想到，我们搞的是范数2空间。

我们可以想象一下会不会在那么一个平行宇宙，那里的人搞空间艺术，要考虑的却是范数3的空间呢？

如果大家还有更好的理解的话，欢迎留言。