解题报告 (十四) 数位DP

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数位DP 解题报告

HDU 4722 Good Numbers

链接：HDU 4722 Good Numbers
题意：如果一个数的所有位数加起来是 $10$ 的倍数, 则称之为 $goodnumber$，求区间 $[l,r](0\le l\le r\le 10^{18})$ 内 $goodnumber$ 的个数；

• 题解参考 夜深人静写算法（二十九）- 数位DP 中【例题1】的讲解。

HDU 2089 不要62

链接：HDU 2089 不要62
题意：对于一个数字，如果出现 4 或者 62 ，则属于不吉利数字，给定 $n,m(0<n<m<10^6)$，求 $[n,m]$ 中非不吉利数字的个数。

• 题解参考 夜深人静写算法（二十九）- 数位DP 中【例题2】的讲解。

HDU 3555 Bomb

链接：HDU 3555 Bomb
题意：给定一个 $n(1\le n\le 2^{63}-1)$，求小于等于 $n$ 的数字中包含 49 的数的个数。

• 题解参考 夜深人静写算法（二十九）- 数位DP 中【例题3】的讲解。

HDU 3652 B-number

链接：HDU 3652 B-number
题意：一个数的十进制包含子串 “13” 并且能被 13 整除，则被称为 B数，求小于等于 $n(n\le 10^9)$ 的 B数。

• 题解参考 夜深人静写算法（二十九）- 数位DP 中【例题4】的讲解。

PKU 3252 Round Numbers

链接：PKU 3252 Round Numbers
题意：如果一个数的二进制表示中 0 的个数大于等于 1，则称它为 $roundnumber$，给定一个区间 $[a,b]$，求其中 $roundnumber$ 的个数。

• 题解参考 夜深人静写算法（二十九）- 数位DP 中【例题5】的讲解。

HDU 4151 The Special Number

链接：HDU 4151 The Special Number
题意：一个数字的十进制下的每个位都不同，则称为 $SpecialNumber$，求小于 $n(n<10^8)$ 的数的个数。

• 题解参考 夜深人静写算法（二十九）- 数位DP 中【例题6】的讲解。

PKU 3286 How many 0’s?

链接：PKU 3286 How many 0’s?
题意：统计区间 $[a,b]$ 中的 0 的数量。

• 首先利用差分法，用 $g(x)$ 表示 $[0,x]$ 中 $0$ 的数量，答案就是 $g(b)-g(a-1)$。
• 这个题可以说是没有任何显式的约束条件，但是我们在统计的时候需要注意一个很重要的点，就是前导零是不能纳入统计的。所以在定义前缀状态的时候，对于一个长度为 $n$ 的数字，我们可以分为 3 类：
• 1）状态0：$n$ 个 0 的情况；
• 2）状态1：$k(k\le n-1)$ 个 0 的情况；
• 3）状态2：其它情况；
• 状态转移如图所示：

0-9

0,n=1

0,n<>1

1-9

0-9

0

1

2

• 对于一个数 $x$，如果前缀状态处于 状态0，那么很显然，这个值就是零，所以零的个数为1；如果处于 状态1，那么到目前为止都是前导零，不应该纳入统计；如果处于 状态2，假设第 $k$ 位的零出现次数为 $h(k)$， 则有：
• $$h(k)=\{\begin{array}{ll}10^{k-1}& lim=true\\ x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10^{k-1}+1& lim=false\end{array}$$
• 利用 数位DP 进行状态转移即可。

HDU 1663 The Counting Problem

链接：HDU 1663 The Counting Problem
题意：统计区间 $[a,b](0<a,b<10^8)$ 中每个数字的 $[0,9]$ 的数量。

• 同 PKU 3286 How many 0’s

洛谷 P2602 数字计数

链接：洛谷 P2602 数字计数
题意：统计区间 $[a,b](0<a,b<10^{12})$ 中每个数字的 $[0,9]$ 的数量。

• 同 HDU 1663 The Counting Problem

洛谷 P2657 windy 数

链接：洛谷 P2657 windy 数
题意：一个数字各个相邻位之差的绝对值不小于2则称为 Windy 数，统计区间 $[a,b](0<a,b<10^9)$ 中的 Windy 数 个数。

• 前缀状态定义：已经枚举的数字的前缀的最后一位；
• 状态转移：令前一位为 $x$，当前位为 $y$，状态转移发生在 $|x-y|\ge 2$ 时；
• 前导零状态：前导零状态应该和任意状态都能发生状态转移，即满足 $|x-y|\ge 2$，所以可以用 11 进行编码。

洛谷 P3413 萌数

链接：洛谷 P3413 萌数
题意：如果一个数包含长度至少为2的回文串，则称为萌数，求区间 $[l,r](l\le r\le 10^{1000})$ 内萌数的个数模 ($10^9+7$)。

• 前缀状态定义：已经枚举的数字的前缀的最后两位；不足两位的用 10 （前导零状态） 来补齐，一旦出现满足条件的回文串，则将状态变为饱和状态，用 11 编码，除了这两个特殊状态，用高位和低位来分别表示最后第二位 和 最后第一位。所以状态定义为：

          [10]          表示前导零状态 
          [11]          表示饱和状态
     [10][0-9]          表示一位数字 
    [0-9][0-9]          表示两位以上数字的最后两位

• 状态转移实现如下：

const int saturatedstate = 11;
const int leadingzerostate = 10;

bool isEndStateValid(stType state) {
     
	return state == saturatedstate;
}

stType nextState(stType st, int digit) {
     
    if(st == leadingzerostate) {
     
        // 前导零状态，接受0，还是保持前导零状态 
        if(digit == 0) {
     
            return leadingzerostate;
        }
        // 否则
        st = leadingzerostate * 100 + leadingzerostate;
    }else if(st == saturatedstate) {
     
        return saturatedstate;
    }
    int high = st/100, low = st%100;
    if(high == digit || low == digit) {
     
        return saturatedstate;
    }
    return low * 100 + digit;
}

洛谷 P6754 Palindrome-Free Numbers

链接：洛谷 P6754 Palindrome-Free Numbers
同 洛谷 P3413 萌数

洛谷 P4317 花神的数论题

链接：洛谷 P4317 花神的数论题
题意：令 $sum(i)$ 表示 $i$ 的二进制表示中 $1$ 的个数。给出一个正整数 $n(n\le 10^{15})$，求 ${\prod }_{i=1}^{n}sum(i)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10000007$。

• 可以利用数位DP求出二进制表示中 1 的个数为 $k$ 个的，令其个数为 $h(k)$。
• 则最后的答案就是：
• $$\prod _{k=1}^{63}{k}^{h(k)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10000007$$
• 利用二分快速幂求解最终答案。
• 由于是求 1 的个数所以不需要考虑前导零，如果是求0的个数就要引入前导零状态了。

HDU 5898 odd-even number

链接：HDU 5898 odd-even number
题意：如果一个数的连续奇数位有偶数个，连续偶数位有奇数个，则称为 $odd-evennumber$，给定区间 $[l,r](l\le r\le 10^{18})$，求区间内 $odd-evennumber$ 的个数。

• 前缀状态定义：前缀的最后一位数字的奇偶性，以及连续相同奇偶性的数个数的奇偶性；高位代表枚举的数字的最后一位的奇偶性，低位代表连续相同奇偶性的数个数的奇偶性。所以状态定义为：

          [12]          表示前导零状态 
        [0][1]          表示前缀最后这位为偶数，出现奇数次 
        [0][0]          表示前缀最后这位为偶数，出现偶数次
        [1][0]          表示前缀最后这位为奇数，出现偶数次
        [1][1]          表示前缀最后这位为奇数，出现奇数次

• 状态转移实现如下：

const int invalidstate = -123456789;
const int leadingzerostate = 12;

bool isEndStateValid(stType state) {
     
	return state/10 != state%10;
}
stType nextState(stType st, int digit) {
     
    if(st == leadingzerostate) {
     
        if(digit == 0) {
     
            return leadingzerostate;
        }
        return (digit&1) * 10 + 1;
    }
    int high = st/10, low = st%10;
    int oddeven = (digit&1);
    if(high != oddeven) {
     
        if(high == low) {
     
            return invalidstate;
        }
        return oddeven * 10 + 1;
    }else {
     
        return high*10 + (low^1);
    }
}

HDU 4734 F(x)

链接：HDU 4734 F(x)
题意：$x$ 表示为 10进制的 $n$ 位数为 $A_n{A}_{n-1}{A}_{n-2}...A_2{A}_1$, 定义 $$F(x)=A_n\ast 2^{n-1}+A_{n-1}\ast 2^{n-2}+...+A_2\ast 2+A_1\ast 1$$给定两个数 $A$ 和 $B$ $(0\le A,B\le 10^9)$，求区间 $[0,B]$ 中有多少数满足 $F(x)\le F(A)$。

• 由于 $B$ 的范围限制，所以 $F(x)$ 的最大值为 $9\ast 2^8+9\ast 2^7+...+9\ast 2^0=9\ast (2^9-1)=4599$。利用 $F(x)$ 作为前缀状态 $st$，定义状态 $f(n,st,lim)$ 进行数位 DP。
• 这题需要注意，由于是海量数据，所以对于记忆化数组 $f[n][st]$ 只能初始化一次。
• 并且需要加入一定的剪枝，比如当枚举到的某个数，$lim=true$ 时，计算出的最大的 $F(x)$ 都是小于等于 $F(a)$ 的，那么答案就是 $10^n$，不必再递归往下计算，直接返回即可。

HDU 6148 Valley Numer

链接：HDU 6148 Valley Numer
题意：如果一个数中出现县递增再递减的山峰，则为不合法数，求 $[1,n](n\le 10^{100})$ 中有多少合法数模(1000000007)。

• 状态定义用两个参数表示：

第一位： 
    0    前导零状态
    1    尚未出现过递增
    2    出现过递增 

第二位：
    0-9  前缀的最后一位数字 

• 然后进行状态转移，套用 数位 DP 模板即可。

HDU 5179 beautiful number

链接：HDU 5179 beautiful number
题意：对于一个数 $A={\sum }_{i=1}^n{a}_i\ast 10^{n-i}(1\le ai\le 9)$ 当满足以下两个条件时，我们称 A 为 “$beautifulnumber$”
   1）$a_i\ge a_{i+1}$；
   2）$a_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_j=0$，$1\le i\le n,i<j\le n$
现在给定区间 $[l,r](l\le r\le 10^9)$，求区间中 $beautifulnumber$ 的数量。

• 前缀状态用二进制压缩，如果一个数字出现过，则在对应二进制比特位置1，数字总共9个，所以状态总数不会超过1023，再加上前导零状态，总共 1024 个状态。
• 状态转移就简单了，直接枚举对应位是否存在 1，有的话就进行整除合法性判断。

洛谷 P4124 手机号码

链接：洛谷 P4124 手机号码
题意：一个手机号需要同时满足以下三个条件：
  1）不含前导零；
  2）至少有三个相同的相邻数字；
  3）4 和 8 不能同时出现；
给定一个区间 $[l,r]$，求满足条件的手机号的个数。

• 三个条件分别做如下处理：
• 1）最高位必须从 1 开始枚举，才能保证不出现前导零；
• 2）状态位 [a][b]，其中 [a] 表示前缀最后一个字符是 $a$，[b] 表示 $a$ 出现的次数；
• 3）状态位 [c]，c 的取值为 0（表示4和8都没出现），1（4出现了），2（8出现了）；
• 状态转移利用数位 DP 求解即可。

洛谷 CF855E Salazar Slytherin’s Locket

链接：洛谷 CF855E Salazar Slytherin’s Locket
题意：求 $[l,r](1\le l\le r\le 10^{18})$区间中的数，转换成 $b(b\le 10)$ 进制后，$0,1,2...,b-2,b-1$ 都出现偶数次的数的个数。

• 每个数字出现 偶数次 或者 奇数次 可以用 0 或者 1 来表示，由于 $b$ 的范围最大为 10，所以最多 $2^{10}$ 个状态，再加上一个前导零状态，用 2048 表示。
• 然后就是套用 数位 DP 模板了。

洛谷 P6371 V

链接：洛谷 P6371 V
题意：使用给定的数字，组成一些在 $[l,r](l\le r\le 10^{11})$ 之间的数使得这些数每个都能被 $X(X\le 10^{11})$ 整除。

• 分情况讨论：
• 1）当 $X\le 10^5$，利用 数位 DP 求解，前缀状态就是存每个数前缀模 $X$ 的值；
• 2）否则，直接暴力枚举 $X$ 的倍数判可行性；

洛谷 P4127 同类分布

链接：洛谷 P4127 同类分布
题意：给出一个闭区间 $[l,r]$，求各位数字之和能整除原数的数的个数。

• 两个前缀状态：
• 所有数字的和最大值为：9 * 长度 $=9\ast 19<180$，所以可以枚举所有可能情况的和 $sum$。
• 1）个位数字之和 $nowsum$；
• 2）原数模上 $sum$ 的余数 $nowmod$；
• 然后用 数位DP 进行状态转移，得到最终状态：$(nowsum，nowmod)$ ，只有当 $nowsum=sum$ 且 $nowmod=0$ 才是满足条件：各位数字之和为 $sum$，且 $sum$ 能被原数整除的情况。

HDU 5787 K-wolf Number

链接：HDU 5787 K-wolf Number
题意：给出区间 $[l,r](1\le l\le r\le 10^{18})$ 和 $K(2\le K\le 5)$，求区间中，十进制表示相邻 $K$ 位都不同的数的个数。

• 用 $11$ 进制来表示状态，其中 $[0，9]$ 代表数字，$10$ 代表前导零，每次状态转移的时候检查前缀状态的 $[0,K)$ 是否有当前枚举的这一位数字，如果有则不进行状态转移，否则把当前那一位附加到前缀状态末尾，每次只存 $K$ 位状态，不过不足 $K$ 位，用 $10$ 补齐在最前面（前导零的情况）。

PKU 3208 Apocalypse Someday

链接：PKU 3208 Apocalypse Someday
题意：一个数如果至少包含 3 个 6，则称为 “beast number”，给定一个 $k$， 求第 $k$ 个 “beast number”。

• 状态编码如下：
• 状态0：前缀数字最后位不是6，且未出现过连续3个6；
• 状态1：前缀数字最后位连续6的个数为1个，且未出现过连续3个6；
• 状态2：前缀数字最后位连续6的个数为2个，且未出现过连续3个6；
• 状态3：已经出现过连续3个6，饱和状态；
• 状态转移如下：

6

else

6

else

6

else

all

0

1

2

3

• 然后就是 二分答案 + 数位DP 判可行 了。

HDU 5965 扫雷

链接：HDU 5965 扫雷
题意：对于一个 $3\times n(n\le 10000)$ 的格子上，中间一行均无地雷，显示了周围 8 个格子共有多少地雷，求一共有多少种方案。

• 用 $f[n][2][2][2][2]$ 来表示状态，进行状态转移。

HDU 5456 Matches Puzzle Game

链接：HDU 5456 Matches Puzzle Game
题意：给出 $n(n\le 500)$ 根火柴，然后给出如下火柴的样式，求满足条件的等式 $A-B=C$ 的方案数，求方案数模 $10^9+7$。
如下图为火柴数为 $(n=17=6+1+5+2+3)$ 的其中一种方案。

• 首先预处理每个数字需要多少根火柴，存储在 num 数组中；
• 然后把等式转换成 $A=B+C$；
• 接着就是确定枚举方式，我们可以枚举 B 和 C 的每一位，相加的时候需要对齐，所以从低位到高位进行枚举，然后记录是否产生进位，从而确定 A 的对应位是什么，还要考虑前导零；
• 所以可以这么设计状态：
• $f[n][2][2][2]$，状态表示四维 $f[i][j][k][l]$：
• 1）$i$ 表示目前还有 $i$ 根火柴的情况；
• 2）$j$ 表示当前 B 这个数字是否已经枚举完；
• 3）$k$ 表示当前 C 这个数字是否枚举完；
• 4）$l$ 表示低位过来的进位是多少；
• 然后根据 $j$ 和 $k$ 是否枚举完进行分情况讨论，记忆化搜索即可。

HDU 3709 Balanced Number

链接：HDU 3709 Balanced Number
题意：如果一个数字满足以某个点为平衡点，两边数字的力矩相等，则称这个数为 “Balanced Number”，给定一个区间 $[a,b]$，求区间中有多少 “Balanced Number”。例如：4139 就是一个 “Balanced Number”，因为它满足 $4\ast 2+1\ast 1=9\ast 1$

• 首先，如果一个数 $x$，长度为 $n$，平衡点的位置在 $p$，那么把这个数字表示成十进制如下：
• $$x_n{x}_{n-1}...x_{p+1}{x}_p{x}_{p-1}...x_2{x}_1$$
• 那么，左边数字的力矩就是：
• $$l_p=x_n\ast (n-p)+x_{n-1}\ast (n-p-1)+...+x_{p+1}$$
• 右边数字的力矩就是：
• $$r_p=x_{p-1}+...+x_2\ast (p-2)+x_1\ast (p-1)$$
• 由于 $p$ 是平衡点，那么 $l_p=r_p$。
• 那么，如果在 $p$ 是平衡点的基础上，我们来看看是否有可能，$p-1$ 这个位置也是平衡点？
• 假设 $p-1$ 是平衡点，那么有：
• $$\begin{array}{rl}{l}_{p-1}& =x_n\ast (n-p+1)+x_{n-1}\ast (n-p)+...+x_p\\ & =x_n\ast (n-p)+x_{n-1}\ast (n-p-1)+...+x_{p+1}+(x_n+x_{n-1}+...x_p)\\ & =l_p+\sum _{k=p}^n{x}_k\end{array}$$
• $$\begin{array}{rl}{r}_{p-1}& =x_{p-2}+...+x_2\ast (p-3)+x_1\ast (p-2)\\ & =x_{p-1}+...+x_2\ast (p-2)+x_1\ast (p-1)-x_{p-1}-...-x_2-x_1\\ & =r_p-\sum _{k=1}^{p-1}{x}_k\end{array}$$
• 满足等式：$$l_{p-1}=r_{p-1}$$
• 则需要满足 $$\sum _{k=p}^n{x}_k=-\sum _{k=1}^{p-1}{x}_k$$
• 除非 $x_k=0$，这种情况特殊处理，其他情况不可能满足有多个平衡点，所以可以求出所有以 $p(1\le p\le n)$ 为平衡点数字的和，就是整个问题的解了。

HDU 4507 吉哥系列故事——恨7不成妻

链接：HDU 4507 吉哥系列故事——恨7不成妻
题意：如果一个整数符合下面3个条件之一，那么我们就说这个整数和7有关——
 1、整数中某一位是7；
 2、整数的每一位加起来的和是7的整数倍；
 3、这个整数是7的整数倍；
给定一个区间 $[a,b]$，求区间内和 7 无关的数字的平方和 模 $10^9+7$。

• 定义状态的时候可以这么考虑：
• 1）遇到 7 无法进行状态转移；
• 2）每位加起来的和 模 7 的余数作为 state1，范围 $[0,6]$；
• 3）枚举到当前前缀的和 模 7 的余数作为 state2，范围 $[0,6]$；
• 4）如果一个数 $v$ 的最高位为 $i$，后面的位用未知数 $x$ 表示，即 $v=i\ast 10^n+x$，那么 $$v^2=i^2\ast 100^n+x^2+2xi\ast 10^n$$
• $$\begin{array}{rl}\sum v^2& =\sum (i^2\ast 100^n+x^2+2xi\ast 10^n)\\ & =i^2\ast \sum 100^n+\sum x^2+2i\ast 10^n\sum x\end{array}$$
• 所以当最高位确定为 $i$ 的时候，需要知道三个值：
• 1）$x$ 取值有多少种？用 $a$ 表示，则 $i^2\ast \sum 100^n=i^2\ast a\ast 100^n$
• 2）$x$ 所有 x 求和为多少？用 $b$ 表示，则 $2i\ast 10^n\sum x=2i\ast 10^{n}b$
• 3）$x$ 所有 x 的平方和为多少?用 $c$ 表示，则 $\sum x^2=c$
• 于是得到：
• $$\sum v^2=i^2\ast a\ast 10^{2n}+2i\ast 10^{n}b+c$$
• 而 $a,b,c$ 又可以通过递归求得。

HDU 4352 XHXJ’s LIS

链接：HDU 4352 XHXJ’s LIS
题意：给定一个区间 $[L,R](0<L\le R<2^{63}-1)$，和一个数 $K(K\le 10)$，求区间中的数字表示成字符串后，最长严格递增子序列的长度为 $K$ 的数字的数量。

• 建议先看下 夜深人静写算法（二十）- 最长单调子序列 其中提到的 $nlo{g}_{2}n$ 的那个算法。
• 状态表示为：令 $g_i$ 表示长度 $i$ 为 的 递增子序列的最后一个数（即子序列中的第 $i$ 个数）的最小值。
• 最大长度为 10，并且要求递增，所以这样的序列不会很多，我们可以用 $dp$ 计数来求出这些序列共有多少种，列表如下：

$dp[i][j]$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	total
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	10
2	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	45
3	0	0	1	3	6	10	15	21	28	36	120
4	0	0	0	1	4	10	20	35	56	84	210
5	0	0	0	0	1	5	15	35	70	126	252
6	0	0	0	0	0	1	6	21	56	126	210
7	0	0	0	0	0	0	1	7	28	84	120
8	0	0	0	0	0	0	0	1	8	36	45
9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	9	10
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1

• 这张表表示的是 $dp[i][j]$，即 长度为 $i$ 且以数字 $j$ 结尾的递增序列的个数，我们看到，长度为 5 的情况下达到最大值，也就 252 个。所以对于每个序列都可以单独作为一个状态，即 12489、24567、56789 均为长度为 5 的合法状态，都是算在 252 个里面的；相反的， 87134 则不是合法状态。
• 由于数字很大，无法直接放到状态数组中，那么我们可以通过预处理，先把这些合法状态都预处理出来，然后存放到一个数组中，再通过二分去找到这个数字，返回下标来作为状态数组的下标。
• $f[n][len][state][2][2]$ 来表示状态，数字本身的长度为 $n$，递增序列的最大长度 $len$，其中递增序列的状态 $state$，第一个 $2$ 代表是否已经有非零的数字， 第二个 2 代表每一位的 limit，然后就可以进行数位DP了。

洛谷 CF55D Beautiful numbers

链接：洛谷 CF55D Beautiful numbers
题意：一个数字如果能够被它所有的非零位整除，则称之为：$Beautifulnumber$，给定一个区间 $[l,r](l\le r\le 9\ast 10^{18})$

• 这道题比较巧妙，我们可以发现如下几个思考点：
• 1）首先考虑，如果一个数能被所有 $[1,9]$ 的数字整除，那么就是被它们的最小公倍数整除，即 2520；
• 2）如果这个数字不包含所有 $[1,9]$ 的数字，那么它们的最小公倍数一定比 2520 小，也一定是 2520 的因子；
• 3）假设原数为 $x$，模 2520 的值为 $y=x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2520$，假设 $t$ 为 2520 的因子，且是某些数字位的最小公倍数，那么有：
• $$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}t=y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}t$$
• 根据以上几点，我们可以设计数位DP的状态为：$f[n][l][mod](n\le 20,l\le 48,mod\le 2520)$
• $n$ 代表数位 DP 的长度，$l$ 代表各种数字组合下的最小公倍数，总共 48 个；$mod$ 代表原数模 2520 的余数；
• 然后进行数位 DP 即可。

HDU 5676 ztr loves lucky numbers

链接：HDU 5676 ztr loves lucky numbers
题意：如果一个数只包含 4 和 7，则称为 幸运数，如果 4 和 7的个数相等，则称为超级幸运数。给定 $n(n\le 10^{18})$，求 $\ge n$ 的最小超级幸运数。

• 不用 数位 DP 也可以做，直接枚举所有答案（不到 70000 个），然后二分找。