6.排序学习（学习笔记）

2.6.1如何分析一个“排序算法”

①排序算法的执行效率

    从三方面来看：最好情况，最坏情况，平均情况时间复杂度；时间复杂度的系数，常数，低阶；比较次数和交换次数。

②排序方法的内存消耗

    算法的内存消耗可以通过空间复杂度来分析，排序算法也不例外，针对排序算法的时间复杂度，引入了一个新的概念：原地排序即为空间复杂度为O(1)的排序算法。

③算法排序的稳定性

    稳定性：这个概念是说，如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，先后顺序不发生变化，比如说，2,9,3,4,8,3这组数据，如果排序之后两个三前后顺序没有发生改变，称之为稳定的排序算法，反之则称为不稳定的排序算法。

    假如是一个很复杂的业务，比如有10万条订单数据，要求先按照订单金额进行排序，在订单金额相同的情况下，再根据下单时间进行排序。可以先用稳定的排序方法先对数据进行时间排序，在进行金额排序，排序之后，还是我们想要的数据。

2.6.2冒泡排序

    冒泡排序只会操作相近的两个数据，每次冒泡都会对相邻的两个数据进行比较，看是否满足大小关系要求，如果不满足就让他俩互换，一次冒泡至少会让一个元素移动到他所应该在的位置。重复n次，就完成了n个数据的排序工程。

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    冒泡排序是原地排序算法，是稳定的排序算法，最好情况的时间复杂度是O(n),最坏情况时间复杂度为O(n²)

    平均时间复杂度的分析引入一种新的“不严格”的分析方法，有序度和逆序度，有序度指数组中具有有序关系的个数，对于一个倒序排列的数组，比如说6,5,4,3,2,1他的有序度就是0，而1,2,3,4,5,6他的有序度就是 n*(n-1)/2也就是15，叫做满有序度，而最好情况有序度就是n*(n-1)/2，最差情况的有序度是0，平均就是n*(n-1)/4，而复杂度上上限是O(n²)，所以平均情况下的时间复杂度就是O(n²)。

2.6.3插入排序

    插入排序含有两种操作，一种是元素的比较，一种是元素的移动，移动次数就等于逆有序度。根据其原理，我们把该无序数列看成两个部分，首先我们把第一位4看成是有序数列，剩下的作为无序数列，因为要把后面的无序数列中的数插入到前面有序数列，所以依次把后面的数抽出，在前面找到合适位置插入。如图，先抽出5，与前面比较，比4大放在4后面，再抽出6，与前面比较，比5大，所以插入到5后面。依次类推，直到最后的一个数也插入到前面的有序数列中。

    插入排序是原地排序算法，是稳定的排序算法，如果数组是有序的，最好情况时间复杂度是O(n)，最坏情况是倒序的，所以最坏情况时间复杂度是O(n²)，平均时间复杂度是O(n²)。

2.6.4选择排序

选择排序的实现思路有点类似于插入排序，也分排序区间和未排序区间，但是选择排序每次都会从未排序区间中找到最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。

    选择排序的空间复杂度是O(1)，是一种原地排序算法。最好情况、最坏情况、平均情况时间复杂度都是O(n²)，但是选择排序是不稳定的排序算法，比如说一组数：5,8,2,5,9。第一次找到的是最小数据2，然后和5交换位置，这样的话第一个5和第二个5的位置就变化了，就不稳定了。

2.6.5三种排序的总结

    选择排序是一种不稳定的排序算法，相比于冒泡排序和插入排序，这都是他的弱点所在，而冒泡排序和插入排序相比，虽然移动(插入)次数相同，时间复杂度也都相同，但是冒泡要赋值三个，而选择排序只需要一个。

    以上这三种算法，都有一个共同点，将待排序的序列分为已排序和未排序两部分，都是在未排序的部分找到一个最值，放到已排序序列的恰当位置。具体到代码里面，分两层循环，外层循环用于分割已排序和未排序部分，内层循环用于在未排序的部分中查找。

2.6.6归并排序

    归并排序采用一种分治思想（将一个大问题分解成小的问题来解决，小的问题解决了，大问题也就解决了）。先把一个无序数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别排序，再将排好序的部分合并起来，这样这个数组就有序了。

    分治和递归思想有点像，分治一般是通过递归来实现的，分治是一种解决问题的处理思想，递归是一种编程技巧。

    性能分析：首先归并排序是稳定性的排序算法，时间复杂度的分析：归并排序的涉及递归，假设解决问题的时间复杂度是T(a)，那么分解成两个问题，就是T(a)=T(b)+T(c)+k，其中k等于合并两段数据所消耗的时间。假设n个元素进行归并排序所需要消耗的时间是T(n)，那么分解成两部分就是T(n/2)*2加上合并所需要的时间复杂度n。

    最终分析得到T(n)=2^k*T(n/2^K)+k*n，假设n=1，当T(n/2^k)=T(1)时，也就是n/2^k=1，得到k=log2n,带入到公式里面得到T(n)=Cn+nlog2n，用大O标记法来表示，他的时间复杂度就是O(nlogn)，从空间复杂度来看，归并排序有一个致命的缺点就是，他不是原地排序的排序算法，他的空间复杂度是O(n)。

2.6.7快速排序

    ①以下快排的实现思路是，从数组中取一个值作为基准（以下取得是第一个值），然后从左向右开始遍历找到那个比他大的值，从右向左开始遍历，找到那个比他小的值。然后将两个数的位置进行置换，然后把基准的位置和小的那个值位置互换。然后以此下标为基准，进行分区分治。

    ②再谈一种快排的思路，大体实现是相同的，以数组中的一个值为基准（以最后一个数为基准），遍历数据，把小于pivot的放在左边，大于pivot的放在右边，pivot就在中间。，然后对两边进行分区分治。最后实现快排。

    快排分析：快排是一种原地不稳定的排序算法，快排的时间复杂度分析方法和归并排序一样，也是O(nlogn)，但是在极端情况下，比如1,2,3,4,5如果选择最后一个元素作为pivot，那么每次分区得到的都是不均等的，需要大约进行n此操作，才能完成快排过程，这种情况下，快排的时间复杂度就从O(nlogn)退化成了O(n²)。

    问题分析1：O(n)时间复杂度内求无序数组中第K大元素（使用第二种解题思想来实现的）

    选择数组A[0...n-1]来进行分析，以最后一个数为基准来判断，对数组进行原地分区，这样就分成了三部分，A[0...p-1]、A[p]、A  [p+1...n-1]。如果要找到第K大的数，那么如果p+1=K。那么p就是那个数，如果K

（本文是个人听课笔记，不少东西摘取于王争老师的原文，原文链接http://gk.link/a/10aMZ）

2.6.8线性排序

桶排序，计数排序，基数排序，因为这些排序算法的时间复杂度都是线性的，所以把这类排序算法称为线性排序。这三个算法都是基于比较的排序算法，都不涉及元素之间的比较操作。

2.6.9桶排序

 

    桶排序的核心思想就是将要排序的数据分到几个有序的桶里，然后每个桶里的数据在进行单独的排序，桶内拍完序之后再把每个桶里的数据按照顺序依次的取出，组成的序列就是有序的了。桶排序的时间复杂度是O(n)。如果要排序的数据是n条，平均的分配到m个桶里，然后对每个桶里进行快排，每个桶里有k=n/m个元素，每个桶的时间复杂度就是O(klogk)，m个桶的时间复杂度就是O(m*k*logk)，当桶的数量无限接近于元素的数量的时候，logk就会变成一个非常小的常量，这时桶排序的时间复杂度就变成了O(n)。

    这样看起来桶排序很好啊，那是不是其他的排序就没有必要了，当然不是。桶排序对于数据的要求太高了，首先要排序的数据要很轻易地能划分进m个桶，并且桶与桶之间要有天然的大小顺序，其次数据要在各个桶之间是分布均匀的，如果数据经过桶的划分之后，有的桶数据非常多，有的桶数据非常少，很不平均，那样的话桶内的时间复杂度就不是常量级了，在极端情况下，如果所有的数据全部都分布到一个桶里，那样的话，时间复杂度就又变成O(nlogn)了。

    说一个比较适合桶排序的场景。桶排序比较适合用在外部排序中，就是数据存储在外部磁盘中，数据量比较大，内存有限，无法将数据全部加载到内存中。比如说有10GB的数据，希望按照订单金额（假设都是正整数）进行排序，但是内存有限，只要几百MB，没办法一次性全部加载到内存中，应该怎么办：

    用桶排序来解决这个问题，先扫描一遍文件，看金额所处的数据范围，假设最低是1，最大10万，将数据划分进100个桶里，第一个桶是1-1000，第二个1001-2000...并且按照金额范围的大小顺序对编号命名(00,01,02...)。最理想的情况下，如果订单金额在1元-10万元内均匀分布，那订单会被分布到100个桶里，每个桶的大小也就是100MB,对桶里的数据进行快排，只需要按照桶的编号从头开始读取数据并存取到一个文件中即可。

    以上是理想的情况，但是怎么可能呢！有可能有的区域数据多，那样的话就会超出100MB，那样的话针对于这些比较大的文件（桶）就继续划分出更小的区间...直到能够一次性读入内存为止。

2.6.10计数排序

    计数排序像是桶排序的一种特殊情况，加入有n个数据，最大值是k，就分配k个桶，将n个数据分配到k个桶里，每个桶里的数据都是相同的。比如说高考分数排序，假设50万人的分数，分到0-900分这901个桶里。桶内都是相同的数据，所以并不需要进行排序，因为只涉及扫描操作，所以时间复杂度是O(n)。

    不过，为什么叫“计数”排序呢，假设8个考生，成绩2,5,3,0,2,3,0,3,存放到数组A中，然后按照分数排序放到有序数组中：然后推断出每个分数在有序数组中的存储位置：

    首先是从其那到后到前依次扫描数组A,比如：当扫描到3时，看数组C的下标为3的值，7表示小于等于3的共有7个数，然后把3作为第七个元素放入B数组的第七个位置，与此同时C数组中3下标的值减一变为6。这是一种利用另一个数组来计数的方式，所以叫计数排序。

    实现代码如下：

    计数排序要在数据范围k和数据量n相差不大的情况下进行排序，如果n比k大太多，就不适合计数排序了，而且计数排序只能给非负整数排序，如果要排序的是其他的数据类型，就要先传换为非负整数。（比如，如说分数排序，分数后面有小数，就得要先乘10在进行排序）

2.6.11基数排序

    假如要排序10万个手机号码，希望将这10万个手机号码进行排序，要采取一种什么排序方法。可以采用基数排序，先按照最后一位排序手机号码，再按照倒数第二位，以此类推，最后到第一位重新排序，经过11次排序之后吗，手机号码就有顺序了。对每一位进行的排序可以运用桶排序或者计数排序，一共有11位，所以时间复杂度就是O(n)。

    荷兰国旗问题：

（本文是个人听课笔记，不少东西摘取于王争老师的原文，原文链接http://gk.link/a/10aMZ）