TZOJ. dove and Sweet（找规律+递推）

Dove and Sweet（找规律+递推）

描述

GoodEnough为了鼓励Dove读书，决定给Dove一些读书的奖励。Dove从第一页开始按顺序读书，从第二页开始，如果Dove读完了第 i 页书，那么Dove的老师会给Dove一些糖果，糖果的个数是 i 和 i−1 的数位和的差的绝对值（例如，对于 i=100，Dove会得到|1+0+0−9−9∣=17颗糖）。Dove想知道如果自己读了 n 页书的话，自己能得到多少糖果呢？

输入

一行，一个整数n，含义如题。

对于60%的数据，n≤5∗10^6

对于100%的数据，n≤10^25000000

输出

一个数，表示得到的糖果数对 1914270647取模的结果。

样例一

输入：10

输出：16

提示：|2−1|+|3−2|+|4−3|+|5−4|+|6−5|+|7−6|+|8−7|+|9−8|+|1+0−9|=16

样例二

输入：1906471427

输出：1517377881

题解

• 由输入可看n的大小是非常大的，对于时间和内存都是非常大的，所以按照普通的暴力一定不会过。因此我们要换种思路，读入一定是一位一位的读，并且是边读边计算sum（获得糖果的数量）的值。
• 首先需要寻找规律，寻找规律可以通过暴力小的数字进行观察，而且糖果是从第二页阅读才开始获得，所以我们可以转换成从第一页开始获得糖果，然后对最终的糖果加上mod的数然后减一取模就可以了。下面是暴力寻找的代码。

#include
typedef long long ll;
const int mod=1914270647;
ll pan(ll a, ll b)
{
     
	ll s = 0;
	while (a || b)
	{
     
		s = s + a % 10 - b % 10;
		a /= 10;
		b /= 10;
	}
	return s < 0 ? -s : s;
}
int main(){
     
	ll s=0,n;
	while(scanf("%lld",&n)!=EOF){
     
		s=0;
//		s=pan(n,n-1);
		for(ll i=2;i<=n;i++){
     
			s=(s%mod+pan(i,i-1)%mod)%mod;
		}
		printf("%lld\n",s);	
	}
	return 0;
}

• 因为每阅读一页获得糖果的数是 i 与 i - 1 的数位之差的绝对值，可以想到这个值与最后一个非0数（m）的位置有关，如果m为该数的最后一位，获得的糖果为1（|2 - 1|），假如这个数不是最后一位，这个数的大小取决于末尾0的个数（9 *0的个数-1），又因为每次看书都至少获得一个糖果，就可以把所有末尾有0的那个状态减一个糖果，之后末尾无0状态加上末尾有0减糖出来的那个状态合起来获得的糖果就是n。
• 

n	sum(糖果的个数）
A	A = A-0
AB	AB+7A = AB+8A - A
ABC	ABC+79A+7B = ABC +8AB -(A+B)
ABCD	ABCD+799A+79B+7C = ABCD+8ABC-(A+B+C)

观察可得减去的那个数可以最后输出的时候减,并对a,b,s,sum初始化为0。

abc
a表示倒数第三个读入的数
b表示倒数二个读入的数
c表示当前读入的数

因此我们可以写出递推公式sum( i )=sum( i - 1 ) * 10 + 8 * b + c
最终的答案就是sum - s -1；

AC代码：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1914270647;
int main(){
     
	char c;
	ll a,b,s,sum;//定义长整数型防止越界
	a=b=s=sum=0;
	while((c=getchar())!='\n'){
     
		sum=(sum*10+8*b+c-'0')%mod;//求糖果的数量
		a=b;b=c-'0';//将a变为下一次输入时倒数第三个数，将b变为倒数第二个数
		s=(s+a)%mod;//求要减去的那个数的和
	}
	printf("%lld",(mod+sum-s-1)%mod);//保证输出为一个正数
	return 0;
}