关于余额宝万份收益、七日年化和泰勒级数

余额宝作为非常好用的理财工具之一，极大方便了我们的生活。它本质上是一款货币基金，存钱之后每天就会产生收益。

打开余额宝，通常会有几个指标来显示收益

1. 当日收益

2. 累计收益
3. 近一周收益
4. 近一月收益
5. 万份收益
6. 七日年化收益率

前4个指标都是绝对收益，存入的基数不同，绝对收益就不同。通常我们更关心的是收益率——万份收益和七日年化收益率。

下面两张图显示的就是最近的数据，我们会发现这两个指标每天都是在波动的，但是波动不同——七日年化收益率近几天在连续上升，而万份收益在10月31号出现了一个峰值。

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那问题来了：

为什么这两个指标变化趋势不同？
万份收益和七日年化收益率有什么关系？

还是先来弄懂这两个指标是什么意思。

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根据官方说明，万份收益是投资1万元当日的收益，对应就知道了当天的日收益率是多少了。比如上面显示的2016/11/06的万份收益是0.6567元，那当天的日收益率是万分之0.6567，也就是0.006567%。

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七日年化收益率，就是先算最近7天的平均日收益率，再把这个平均日收益率推及到1年，进行年化。

所以，想算2016/11/06这天的七日年化收益率，可以先算从2016/10/31到2016/11/06这7天的平均日收益率，也就是这7天的平均万份收益。计算得到的是0.6575元，其他天数值类推，结果列于下表。

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接下来，就是把这个平均日收益率进行年化，化成年收益率。

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官方说明里再次提到，余额宝是以日复利的，复利周期为1天，所以年化的时候就需要复利年化，算式是：

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其中M是七日平均万份收益。七日年化收益率计算结果见下表第3列，与最开始提到的官方公布的数据几乎一样！（差距只有百万分之几，可能原因在于的初始万份收益的略微不同，毕竟官方有更精确的原始数据）

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明白了万份收益和七日年化收益率的关系，那自然就理解了为什么它们的变化趋势不同——万份收益取的是1天的数据，七日年化收益率取的是7天的数据。

还有一种快速估算七日年化收益率的方法，就是把七日平均万份收益直接乘以365天，计算结果见上表第二列，与官方公布数据差距在万分之几。精确度要求不高的话，这样估算的结果也是可以拿来用的。

为什么可以这样估算呢？我们可以试着把上面复利年化的算式展开，如下：

calcu 1.png

等式右边其实就是左边函数的泰勒级数展开。如果进行一级近似，舍去二级高阶余项，那我们就得到：

calcu 2.png

所以呢，直接乘以365天就可以快速估算七日年化收益率了。

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后注：

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