动态规划

动态规划是一种非常精妙的算法思想，它没有固定的写法，极其灵活，常常需要具体问题具体分析。（整理自《算法笔记》）

1. 什么是动态规划：动态规划是一种用来解决一类最优问题的算法思想。简单来说，动态规划是将一个复杂的问题分解成若干个子问题，通过综合子问题的最优解来得到原问题的最优解。需要注意的是，动态规划会将每个求解过的子问题的解记录下来，这样当下一次碰到同样的子问题时，就可以直接使用之前记录的结果，而不是重复计算。
2. 一般使用递归或者递推的写法来实现动态规划，其中递归写法在此处又称为记忆化搜索。
3. 动态规划的递归写法：

以斐波那契数列为例。

int F(int n){
     
        if( n == 0 || n == 1 )  return 1;
        else return F( n-1 ) + F( n-2 )；
}

实际上，这个递归涉及了许多重复的计算。为了避免重复计算，可以开一个一维数组 dp。其中dp[n]记录F(n)的结果，并用dp[n]=-1表示F(n)没有被计算过。

int F(int n){
     
        if( n == 0 || n == 1 )  return 1;//递归边界
        if(dp[n] != -1) return dp[n];//已经计算过，直接返回结果，不再重复计算
        else {
     
        	dp[n] = F( n-1 ) + F( n-2 )；//计算F(n),并保存至dp[n]
        	return dp[n];  //返回F(n)的结果
        }
}

通过记忆化搜索，降低了复杂度。
通过上述例子可以引申一个概念：如果一个问题可以被分解为若干个子问题，且这些子问题会重复出现,那么就称这个问题拥有重叠子问题。一个问题必须拥有重叠子问题，才能使用动态规划去解决。

4. 动态规划的递推写法
   典型的数塔问题为例（如图）：最后将路径上所有数字相加后得到的和最大是多少？

   令dp[i][j]表示从第i行和第j个数字出发的到达最底层的所有路径中能得到的最大和。

如 dp[1][1]就是从位置（1，1）到达最底层的最大和。

用式子表示：dp[i][j] = max (dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+f[1][1]
把dp[i][j]称为问题的状态，而把上面的式子称为状态转移方程。数塔的最后一层的dp值总是等于元素本身，即dp[n][j]==f(n)(j) (1<=j<=n),这种可以直接确定其结果的部分称为边界。这样就可以从最底层各位置的dp值开始，不断往上求出每一层各位置的dp值，最后就会得到dp[1][1]。

根据这种思想写出动态规划的代码：

#include
#include
using namespace std;
const int maxn =1000;
int f[maxn][maxn],dp[maxn][maxn];
int main()
{
     
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
     
                for(int j=1;j<=i;j++)
                {
     
                        scanf("%d",&f[i][j]);
                }
        }
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
     
                dp[n][j]=f[n][j];
        }
        for(int i=n-1;i>=1;i--)
        {
     
                for(int j=1;j<=i;j++)
                {
     
                        dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+f[i][j];
                }
        }
        printf("%d\n",dp[1][1]);
        return 0;

}

5. 递推和递归的区别：使用递推写法的计算方式是自底向上，即从边界开始，不断向上解决问题。而使用递归是自顶向下，即从目标问题开始，将他分解为子问题的组合，直至分解为边界为止。
6. 最优子结构：一个问题的最优解可以由其子问题的最优解有效的构造出来。需要指出，一个问题必须拥有最优子结构，才能使用动态规划去解决。
7. 分治与动态规划：分治和动态规划都是将问题分解为子问题，然后合并子问题的解得到原问题的解。但分治法分解出的子问题是不重叠的。分治法解决的问题不一定是最优化问题，而动态规划解决的问题一定是最优化问题。
8. 贪心与动态规划：贪心和动态规划都要求原问题必须拥有最优子结构。如上例的数塔，贪心法就是从最上层开始，每次选择左下和右下两个数字中较大的一个，一直到最底层得到最后结果，显然不一定得到最优解。