数据结构荣誉课-第一次实验-解题报告
JLU-数据结构荣誉课-第一次实验-解题报告
- 一、重复计数
-
- 题目
- 思路
- 参考代码
- 二、报数游戏
-
- 题目
- 思路
- 参考代码
- 三、算术表达式计算
-
- 题目
- 思路
- 参考代码
- 四、最喜爱的序列
-
- 题目
- 思路
-
- 单调队列
- 参考代码
- 总结
一、重复计数
题目
在一个有限的正整数序列中，有些数会多次重复出现。请你统计每个数的出现次数，然后按数字在序列中第一次出现的位置顺序输出数及其次数。
输入格式：
第1行，1个整数N，表示整数的个数，(1≤N≤50000)。
第2行，N个正整数，每个整数x 都满足 1 ≤ x ≤2000000000。
输出格式：
若干行，每行两个用一个空格隔开的数，第一个是数列中出现的数，第二个是该数在序列中出现的次数。
输入样例：
- 12
- 8 2 8 2 2 11 1 1 8 1 13 13
输出样例：
- 8 3
- 2 3
- 11 1
- 1 3
- 13 2
题意：
统计序列中各元素出现的频率，并按照原来的相对顺序依次输出。
思路
解法一：
-
统计频率：
由于题目中有规定整数的个数，可以开辟一个对应大小的数组，每次读入数组的下标，将对应的元素＋1，用空间换时间。 -
按照原相对顺序输出：
我们可以采用一个容器来保存之前出现过的元素下标，最后再按照原顺序输出。由于先入容器的下标要先出容器，所以我们容器我们选择队列。
解法二：
- 先无脑读入所有数据，同时用队列记录元素值出现的相对顺序，之后对数据进行排序，最后输出该值的数量。
- sort()排序：STL中自带的一种高效的标准排序算法，可以排序任意线性存储的容器。需要的三个参数为：①容器的起始迭代器；②容器的结束迭代器；③排序标准(二元谓词)，默认为less从小到大。
- lower_bound()：在[begin,end)进行二分查找，返回大于或等于key的第一个元素位置的迭代器。如果所有元素都小于key，则返回end的位置迭代器。
- upper_bound()：在[begin,end)进行二分查找，查找的关键字的上界，返回大于key的第一个元素位置的迭代器。
- 要注意的是，由于使用了二分查找，查找的对象应该都是有序的。
参考代码
解法一：
#include "iostream"
#include "queue"
using namespace std;
queue<int> q;
int Num;
int a[500000];//全局变量，初始即全为0
int main()
{
cin>>Num;
int index;
for(int i=0;i<Num;i++)
{
cin>>index;
if(!a[index])//若a[index]为零，说明index第一次出现，index入栈
q.push(index);
a[index]++;
}
while(q.size()!=1)//由于输出格式有要求，我们在队列剩余一个元素时停止输出
{
index=q.front();
q.pop();
cout<<index<<" "<<a[index]<<endl;
}
index=q.front();//最后一个元素输出时最后无多余回车
q.pop();
cout<<index<<" "<<a[index];
}
解法二：
#include "iostream"
#include "algorithm"
#include "queue"
using namespace std;
int a[50001];
int N;
queue<int> q;
int main()
{
cin>>N;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
cin>>a[i];
if(find(a,a+i,a[i])==a+i)//检测是否a[i]之前是否存在,这个算法就是遍历，效率不高
q.push(a[i]);
}
sort(a+1,a+N+1);
int val;
while(q.size()!=1)//由于输出格式有要求，在队中元素剩一个时停止输出
{
val=q.front();
q.pop();
cout<<val<<" "<<upper_bound(a+1,a+N+1,val)-lower_bound(a+1,a+N+1,val)<<endl;
}
val=q.front();
q.pop();
cout<<val<<" "<<upper_bound(a+1,a+N+1,val)-lower_bound(a+1,a+N+1,val);
}
二、报数游戏
题目
n个人围成一圈，从1开始依次编号，做报数游戏。 现指定从第1个人开始报数，报数到第m个人时，该人出圈，然后从其下一个人重新开始报数，仍是报数到第m个人出圈，如此重复下去，直到所有人都出圈。总人数不足m时将循环报数。请输出所有人出圈的顺序。
输入格式：
一行，两个整数n和m。n表示游戏的人数，m表示报数出圈的数字，1≤n≤50000，1≤m≤100。
输出格式：
一行，n个用空格分隔的整数，表示所有人出圈的顺序。
输入样例：
- 5 2
输出样例：
- 2 4 1 5 3
题意：
经典的约瑟夫环问题。
思路
由于算法需要高效，因此采用链表结构。构建具有哨兵结点的循环链表，每次出圈便去掉一个结点，直到结点全部去除。
参考代码
#include "iostream"
using namespace std;
struct cell
{
int data;
cell *next;
};
int N;
int M;
int main()
{
cin>>N>>M;
cell *head,*tmp,*tail;
head=tail=new cell;//创建哨兵结点
for(int i=0;i<N;i++)//构建单向链表
{
tmp=new cell;
tmp->data=i+1;
tail->next=tmp;
tmp->next=NULL;
tail=tmp;
}
tail->next=head->next;//单向链表成环
tmp=head;//以下tmp为要删除(出圈)的结点，p为tmp的前驱结点
cell *p=NULL;
while(N!=1)//由于格式有要求，所以在N=1时停止输出
{
for(int i=0;i<M;i++)//寻找要删除的结点
{
p=tmp;
tmp=tmp->next;
}
cout<<tmp->data<<" ";//输出删除的结点
p->next=tmp->next;//删除结点
//delete tmp;//这里怕多次调用delete超时，所以没写
tmp=p;//将tmp重置到前一位
N--;//人数-1
}
cout<<tmp->next->data<<endl;//输出最后的结点
//注意tmp指向的是上一个删除节点的前驱，要删除的结点为上一个删除结点的后继，因此删除的是tmp->next->data
}
三、算术表达式计算
题目
算术表达式按中缀给出，以=号结束，包括+，-，*，/四种运算和(、)分隔符。运算数的范围是非负整数，没有正负符号，小于等于109 。
计算过程中,如果出现除数为0的情况,表达式的结果为"NaN" ; 如果中间结果超出32位有符号整型范围,仍按整型计算，不必特殊处理。 输入保证表达式正确。
输入格式：
一行，包括1个算术表达式。算术表达式的长度小于等于1000。
输出格式：
一行，算术表达式的值 。
输入样例：
- (1+30)/3=
输出样例：
- 10
题意：
计算中缀表达式的值，除数为0时，需要特别处理。
思路
-
我们需要两个栈，一个为数字栈，用来储存遇到的数字，一个为符号栈，用来储存遇到的符号。
-
与最原始的一位数字计算不同，本题中的数字不仅仅为一位数字。当读到数字字符时，可以循环读入数字字符，并根据sum=sum*10+(now-‘0’)来算出该大于一位的数字。
-
解决大于一位的数字之后，接着要考虑如何计算表达式。有两种思路：①先将中缀表达式转换成后缀表达式，再计算后缀表达式（与后缀表达式相关内容可见本文最后）。②边读边计算。这里主要介绍第二种方法。
-
当读入数字时，直接压入数字栈即可。当遇到符号时，有四种情况：①遇到左括号，直接入栈(因为左括号表示当前位置后面的数字要先算出来，所以此处不需要任何操作)；②遇到±*/，不断取栈顶符号，如果栈顶符号的优先级大于或等于当前符号的优先级，则处理栈顶符号(因为若栈顶符号的优先级不小于当前符号，说明栈顶符号此时已经可以计算了)(具体过程为取数字栈的两个数据，检测符号，做相应的运算后，将结果再压入数字栈)；③遇到右括号，不断取栈顶符号，并处理，直到遇到左括号停止；④遇到结束符号(本题为等号)，不断处理栈顶符号即可(因为之前已经将能计算的全部计算，最后符号栈中符号的优先级关系一定符合正常运算)。
-
需要注意的问题
遇到四种运算符时，一定要循环处理前面遇到的优先级大于或等于其的运算符，不要只处理优先级大于其的运算符，否则有反例：计算1-2-3，由于采用栈，所以计算顺序为倒序，则程序的计算过程为1-2-3=1-(-1)=2显然是错的。 -
具体演示，计算4-2*3-(3-4-5)=的值(由于*为特殊字符，演示中用×代替)
- 4 -2×3-(3-4-5)= 4入数字栈(4)
- 4 - 2×3-(3-4-5)= 检测符号栈顶，-入符号栈(-)
- 4- 2 ×3-(3-4-5)= 2入数字栈(4 2)
- 4-2 × 3-(3-4-5)= 检测符号栈顶，-优先级小于×，×入符号栈(- ×)
- 4-2× 3 -(3-4-5)= 3入数字栈(4 2 3)
- 4-2×3 - (3-4-5)= 检测符号栈顶，×优先级大于-，处理乘号(2,3出数字栈，×出符号栈，2×3入数字栈)，此时数字栈(4 6)，符号栈(-)；再次检测符号栈顶，-优先级等于-，处理减号，此时数字栈(-2)，符号栈()；当前符号入符号栈(-)
- 4-2×3- ( 3-4-5)= 左括号直接入栈(- ()
- 4-2×3-( 3 -4-5)= 3入数字栈(-2 3)
- 4-2×3-(3 - 4-5)= 检测符号栈顶，(优先级小于-，当前符号入符号栈(- ( -)
- 4-2×3-(3- 4 -5)= 4入数字栈(-2 3 4)
- 4-2×3-(3-4 - 5)= 检测符号栈顶，-优先级等于-，处理减号，此时数字栈(-2 -1)，符号栈(- ()；当前符号入符号栈(- ( -)
- 4-2×3-(3-4- 5 )= 5入数字栈(-2 -1 5)
- 4-2×3-(3-4-5 )= 遇到右括号，开始循环处理符号，直到遇到左括号。第一次处理后，符号栈(- ( )，数字栈(-2 -6)；第二次处理遇到最括号，处理停止，此时符号栈(-)，数字栈(-2,-6)
- 遇到等号，处理所有符号，最终数字栈为(4)即为答案。
参考代码
#include "iostream"
#include "map"
#include "stack"
using namespace std;
map<char,int> Pro;//用来储存符号优先级
stack<int> Num;//数字栈
stack<char> Oper;//符号栈
//用来记录大于1位整数的变量
int Flag;//某种标志
int s;//最终的整数值
inline void Calculate(char oper)//根据符号进行计算，并将结果入栈
{
int x,y;
x=Num.top();
Num.pop();
y=Num.top();
Num.pop();
if(oper=='+')
Num.push(y+x);
else if(oper=='-')
Num.push(y-x);
else if(oper=='*')
Num.push(y*x);
else if(oper=='/')
{
if(!x)//除数为0
{
cout<<"NaN";
exit(0);
}
Num.push(y/x);
}
}
int main()
{
//建立符号间的优先级
Pro.insert(make_pair('#',-1));
Pro.insert(make_pair('(',0));
Pro.insert(make_pair('+',1));
Pro.insert(make_pair('-',1));
Pro.insert(make_pair('*',2));
Pro.insert(make_pair('/',2));
Oper.push('#');//压栈符号
char ch;
cin>>ch;
while(ch!='=')
{
while(ch>='0'&&ch<='9')//处理大于1位整数
{
s=s*10+ch-'0';
Flag=1;//标志此时检测到了数字
cin>>ch;
}
if(Flag)//之前检测到了数字，压入数字，Flag和s归位
{
Num.push(s);
Flag=0;
s=0;
}
if(ch=='=')//如果数字之后是‘=’直接退出循环
break;
if(ch=='(')//左括号优先级最低，直接入栈
Oper.push(ch);
else if(ch==')')//检测到右括号，不断计算，直到遇到左括号
{
char oper=Oper.top();
while(oper!='(')
{
Oper.pop();
Calculate(oper);
oper=Oper.top();
}
Oper.pop();//弹出左括号
}
else if(ch=='+'||ch=='-'||ch=='*'||ch=='/')//检测到四种运算符处理前面所有优先级不大于ch的符号
{
char oper=Oper.top();
while(Pro[oper]>=Pro[ch])
{
Oper.pop();
Calculate(oper);
oper=Oper.top();
}
Oper.push(ch);//压入当前符号
}
cin>>ch;
}
while(Oper.size()!=1)//处理剩余的符号，直到遇到压栈符号'#'
{
char oper=Oper.top();
Oper.pop();
Calculate(oper);
}
cout<<Num.top();
}
四、最喜爱的序列
题目
小唐这段时间在研究序列。拿来N个整数的序列，他给序列中的每个整数都赋予一个喜爱值。喜爱值也是整数，有正有负，越大表明越喜欢。他想知道，如何从序列中连续取最多m个数，他获得喜爱值最大。1≤N≤500000，1≤m≤N。
输入格式：
第一行是两个整数N，m。分别代表序列中数的个数以及能取的最多个数。
第二行用空格隔开的N个整数，第i个整数Li代表他对第i个数的喜爱值。│Li│≤1000。
输出格式：
一行，三个数，表示获得最大喜爱值，及第一个取最大喜爱值的区间。
输入样例：
- 5 2
- 1 4 5 2 3
输出样例：
- 9 2 3
题意：
输出 至多m长度的区间内 和的 最大值。
思路
本题是一个典型的利用单调队列求解的题目。
单调队列
维护一个区间正确，且单调递增的队列，每次队首都是当前区间的最小值。
- 单调性的维护：当前元素与队尾元素比较，若队尾元素大于当前元素，队尾元素出队；重复处理，直到队空或队尾元素小于当前元素。
- 区间的维护：若队首元素的位置不在区间内(当前元素下标-队首元素下标＞区间长度)，则队首元素出队；重复处理。
参考代码
#include "iostream"
using namespace std;
struct Cell
{
int data;//记录元素值
int num;//记录下标
};
class MyDeque//自定义双端队列
{
Cell a[500001];
int Num;//队列中元素的个数，用来给Cell中的num赋值用
int top;//队列头指针
int rear;//队列尾指针
public:
MyDeque():top(0),rear(0),Num(0){
}
void push(int x)//后端入队
{
a[rear].data=x;
a[rear].num=++Num;
rear++;
}
int peek_backdata(){
return a[rear-1].data; }//查看队尾元素值
int peek_backnum(){
return a[rear-1].num; }//查看队尾下标
void pop_back(){
rear--; }//后端出队
int peek_frontdata(){
return a[top].data; }//查看队头元素值
int peek_frontnum(){
return a[top].num; }//查看队头下标
void pop_front(){
top++; }//前端出队
int empty(){
return top==rear; }//判断队空
};
int M,N;
int a[500001];//实际储存前n项的和，由于是全局变量，a[0]初始时为0
MyDeque d;
int Max=-500000001;//最大值，开始时初始化为最小值
int top=1;//左区间
int rear=1;//右区间
int main()
{
cin>>N>>M;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
cin>>a[i];//依次读入数据
a[i]+=a[i-1];//记录前n项和，方便以后求某区间内的和
}
for(int i=0;i<N;i++)
{
//队列非空，不断检测队尾元素，弹出大于当前元素的结点
while(!d.empty()&&d.peek_backdata()>a[i])
d.pop_back();
d.push(a[i]);//当前元素入队
//检测队头元素的下标，维护在要求的区间内
while(d.peek_backnum()-d.peek_frontnum()>=M)
d.pop_front();
int tmp=a[i+1]-d.peek_frontdata();//计算当前区间内的元素之和
if(Max<tmp)//判断是否更新最大值
{
Max=tmp;
top=d.peek_frontnum();
rear=d.peek_backnum();
}
}
cout<<Max<<" "<<top<<" "<<rear;
}
总结
-
一种map的用法——处理优先级。此处map的用法类似于一种特殊的数组，数组的下标可以是任意类型的值，数组的值也可以是任意类型的值。
-
与第三题相关的题目——中缀表达式转后缀表达式
参考代码：#include "iostream" #include "vector" #include "map" #include "stack" using namespace std; vector<string> ans;//储存后缀表达式 stack<char> Oper;//符号栈 map<char,int> pro;//处理优先级 inline string String(char c)//char类型转string类型 { string s(1,c); return s; } int main() { //设置优先级 pro.insert(make_pair('+',0)); pro.insert(make_pair('-',0)); pro.insert(make_pair('*',1)); pro.insert(make_pair('/',1)); pro.insert(make_pair('(',-1)); char str[21]; int i=0; cin>>str; int len=strlen(str); while(i<len) { int Flag=0; char tmp=str[i]; string s; while(tmp>='0'&&tmp<='9')//处理多位数字 { s=s+tmp; i++; tmp=str[i]; Flag=1; } if(Flag)//数字直接入栈 ans.push_back(s); //按照运算顺序，符号依次入栈 if(tmp=='(') Oper.push(tmp); else if(tmp==')') { char oper=Oper.top(); while(oper!='(') { Oper.pop(); ans.push_back(String(oper)); oper=Oper.top(); } Oper.pop(); } else { char oper; while(!Oper.empty()) { oper=Oper.top(); if(pro[oper]>=pro[tmp]) { Oper.pop(); ans.push_back(String(oper)); } else break; } Oper.push(tmp); } i++; } while(Oper.size()!=1)//将剩余的等号以外的符号入栈 { char oper=Oper.top(); Oper.pop(); ans.push_back(String(oper)); } for(vector<string>::iterator it=ans.begin();it!=ans.end();it++) cout<<*it<<" "; cout<<endl; return 0; }