海明码（汉明码、Hamming Code）

目录

简介

海明码又称为汉明码，英文名Hamming Code。是差错控制中的纠错码。

编码

概述

海明码是在原数据中的一些固定位置，插入一位奇（或偶）校验位，虽然使原数据变长，但可使其拥有纠错能力。
能侦测并更正一个比特的错误；若有两个比特出错，则只能侦测，不能更正；若有三个或更多的比特出错，则不能侦测，更不能更正。

示例

以二进制串10110为例，以偶校验将其编码为海明码。

第1步：校验位的位置

生成的海明码中，位置为2的幂位均为校验位，用表格表示如下：

海明码中的位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
位置为2的幂	2^0	2^1		2^2				2^3								2^4

第2步：数据位的位置

除去校验位，全部都是数据位。
在第1步的表格中，我们标出数据位：

海明码中的位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
是否为2的幂	2^0	2^1	数据	2^2	数据	数据	数据	2^3	数据	数据	数据	数据	数据	数据	数据	2^4	数据

第3步：填入数据位

将例子中的数据（二进制串10110）填入海明码。同时，为了方便识别，我们将校验位标为R，数据位标为D,即R1、R2、R4、R8、R16……，为校验位；D3、D5、D6、D7、D9……，为数据位。
继续完善表格：

海明码中的位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
是否为2的幂	2^0	2^1	数据	2^2	数据	数据	数据	2^3	数据	数据	数据	数据	数据	数据	数据	2^4	数据
所在位的标识	R1	R2	D3	R4	D5	D6	D7	R8	D9	D10	D11	D12	D13	D14	D15	R16	D17
海明码的值			1		0	1	1		0

第4步：如何计算出校验位的值

通过偶校验算出海明码中校验位的值，下表显示了各校验位的值如何计算：

海明码中的位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
所在位的标识	R1	R2	D3	R4	D5	D6	D7	R8	D9	D10	D11	D12	D13	D14	D15	R16	D17
参与R1校验	X		X		X		X		X		X		X		X		X
参与R2校验		X	X			X	X			X	X			X	X
参与R4校验				X	X	X	X					X	X	X	X
参与R8校验								X	X	X	X	X	X	X	X
参与R16校验																X	X

具体的计算规律如下：
位置为Rx的检验位，是从第x位开始（即从Rx开始），检验x位，跳过x位，再检验x位，在跳过x位，以此类推。
例如上表中，位置为R4的检验位，是从第4位开始（即从R4开始），检验4位（检验4、5、6、7共4位），跳过4位（跳过8、9、10、11共4位），检验4位（检验12、13、14、15共4位），以此类推。

第5步：计算出校验位

最后，根据第4步计算出校验位的值并填入，就能得到海明码了，计算过程如下：

海明码中的位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
是否为2的幂	2^0	2^1	数据	2^2	数据	数据	数据	2^3	数据	数据	数据	数据	数据	数据	数据	2^4	数据
所在位的标识	R1	R2	D3	R4	D5	D6	D7	R8	D9	D10	D11	D12	D13	D14	D15	R16	D17
海明码的值	R1	R2	1	R4	0	1	1	R8	0							R16

R1 = 偶校验(R1, 1, 0, 1, 0) = 0
R2 = 偶校验(R2, 1, 1, 1) = 1
R4 = 偶校验(R4, 0, 1, 1) = 0
R8 = 偶校验(R8, 0) = 0
R16 = 数据太短，当用到D17位置时，才需要R16
将计算结果填入表中：

海明码中的位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
是否为2的幂	2^0	2^1	数据	2^2	数据	数据	数据	2^3	数据	数据	数据	数据	数据	数据	数据	2^4	数据
所在位的标识	R1	R2	D3	R4	D5	D6	D7	R8	D9	D10	D11	D12	D13	D14	D15	R16	D17
所在位的值	0	1	1	0	0	1	1	0	0

得到的海明码为“0110 0110 0”。

侦测和更正

概述

首先，按照编码的方式（奇校验或偶校验），依次检测校验位R1、R2、R4、R8……，然后，将出错的校验位的位置相加，比如发现R1、R8出现错误，则将1和8相加，得到9，即为位置D9的比特出错，最后，将该错误的比特取反就能更正错误。

示例

假设编码示例中生成的海明码“0110 0110 0”，在传输中出错，最后一位（标识D9）出错，错误的海明码为“0110 0110 1”

第1步：检测校验位

该海明码使用教研方式是偶校验，所以我们检验校验位时，也要使用偶校验。
R1 = 偶校验(R1, 1, 0, 1, 0) = 0，出错
R2 = 偶校验(R2, 1, 1, 1) = 1，正确
R4 = 偶校验(R4, 0, 1, 1) = 0，正确
R8 = 偶校验(R8, 0) = 0，出错

第2步：确定出错比特的位置

将出错的校验位的位置相加：
出错比特的位置 = R1的位置是1 + R8的位置是8 = 9

第3步：更正错误

将第9位取反，就能更正错误。
错误的海明码为“0110 0110 1”，更正第9位后为“0110 0110 0”。