2019-02-20(未补充版)

第二讲:平面直角坐标系下曲线运动的描述

—— 以圆周运动为例


本次课会涉及下列数学符号 f(x)

, , , , , , , , , , ,

对应的代码为

$\Delta$, $\vec{r}$, $\vec{i}$, $\frac{x}{y}$, $\cos(t)$, $\omega$, $t_2$, $t_1$, $\sqrt{x}$, $v_x^2$, $\pi$, $\neq$


知识点
  • 平面直角坐标系下的矢量

    有大小,有方向。大小为

    我们约定,小写字母都是对应的矢量的大小。

  • 位矢 ,速度 , 加速度

    ​ 则速度

    ​ 加速度

    ​ 借助速度和加速度,我们可以对运动情况进行分析:该运动为水平速度恒定,竖直方向加速度恒定的运动。

  • 轨迹方程 关于的方程,不关心时间。

    • 写成分量式
    • 消元法除掉,只得到即可。
  • 位矢的大小,速率,加速度的大小

    例子:

    ​ ,求, , , 以及何时加速度最大。

    ​ 对吗?不对!反例:匀速率圆周运动。

  • **一段时间的路程 ,半径的增量,位移 **

    • 的几何意义:起点、终点间轨迹的长度
    • 的几何意义:起点指向终点的有向线段
    • 的几何意义:与原点间距离的增量
      • 等号成立的条件:
        • 极限情况
        • 单向直线运动
  • 曲线运动的加速度

    • 匀速圆周运动的加速度
      • 向心加速度,或法向加速度,符号。作用是改变速度的方向
    • 直线运动的加速度
      • 切向加速度。符号。作用是改变速度的大小
    • 变速圆周运动的加速度
    • 一般曲线运动的加速度表达式
      • 加速度的大小
      • 曲率半径

表达题
  • 设质点的运动学方程为 (式中、皆为常量) 则质点的速度、速率为

解答:

​ 则

  • 运动学的一个核心问题是已知运动方程,求速度和加速度。质点的运动方程为

    则轨迹方程,时刻的速度与速率

解答:

​ 由题意得:


​ 则:

  • 速度的表达式为,初学者可能误认为对于任意时刻有,这是错误的。这只是一个记号,它的真实含义是任意时刻,,实际运算中用求导法则计算。比如,已知质点的运动方程为,则时刻位矢为, 那么时刻的速度呢?吗?遵循这一思路,请求出该质点在时刻的加速度

解答:

  • 理解抽象符号是深入学习的必备条件之一 。一个质点,在时刻位矢为,离开原点的距离为(简称半径,大小为);在时刻位矢为,离开原点的距离为;在至时间内:走过的路程(轨迹的长度)为, 位矢的增量(末态-初态,简称位移)为,半径的增量为( 末态-初态,大小为)。设一个质点以坐标原点为圆心、以1为半径,做逆时针的圆周运动,时刻在(1,0)位置,时刻第一次转到(0,1)位置。则这短时间内的、、分别为

解答:

  • 一运动质点在某瞬时的位矢为,对其速度的大小为
    • (1) ;
    • (2) ;
    • (3) ;
    • (4) .

上述判断正确的是

解答:==tip: 遇见绕来绕去的概念,请结合简单的模型(直线运动,匀速圆周运动)等情况来判断==

1、4

  • 曲线运动中,加速度经常按切向和法向进行分解:借助熟悉的例子来构建其直观物理图像,有助于理解并记忆这些复杂的公式。

    在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车,
    (1) ,
    (2) ,
    在直线上加速跑向食堂的小伙伴,
    (3) ,
    (4) ,
    变速圆周运动的质点,
    (5) ,。
    (6) ,不就是高中学过的向心加速度嘛。
    上述判断正确的为

解答:

1、4、6

  • 质点作曲线运动,对下列表述中,

    • (1);

    • (2);

    • (3);

    • (4).

      正确的是(  )

解答:==tip: 遇见绕来绕去的概念,请结合简单的模型(直线运动,匀速圆周运动)等情况来判断==

  • 一个质点在做圆周运动时,则下列说法正确的是( )
    • 切向加速度一定改变,法向加速度也改变
    • 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变
    • 切向加速度可能不变,法向加速度不变
    • 切向加速度一定改变,法向加速度不变

解答:

  • 物体作斜抛运动,初速度大小为,且速度方向与水平前方夹角为,则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

解答:

  • 法向加速度和切向加速度的核心公式是需要记忆的:和。质点沿半径为的圆周运动,其角位移随时间的变化规律是。在 时,它的法向加速度和切向加速度分别为( )

解答:

  • 质点P在水平面内沿一半径为的圆轨道转动。转动的角速度与时间t的函数关系为 (k为常量)。已知 时,质点P的速度值为 。试求 时,质点P加速度的大小为()

解答:

  • 质点在 平面内运动,其运动方程为.则在 时切向和法向加速度分别为()

解答:

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