离散数学——主析取范式与主合取范式原理探究

主析取范式

对任意一个命题公式来说，主析取范式与主合取范式都是唯一的。

命题变元指原子化的，P，Q命题。

极小项的定义：包含全部N个命题变元的合取式，称其为极小项，且N个命题变元中，每个变元与它的否定不能同时存在，但两者中必有一个出现且仅出现一次。（显而易见，∧这样合取的时候，表达的范围要小，是两个圆重叠的部分，故称之为极小项）

在这里，如果有一个命题公式，仅包含P、Q两个命题变元，如P->Q这样的命题公式，那么存在四个极小项，也就是命题变元以合取的样子存在四种组合情况，就是P∧Q,P∧¬Q，¬P∧Q和¬P∧¬Q。

如果是（P∧Q）V（P∧¬R）。则任意极小项必须包含P，Q，R这三个命题变元，且每个变元与它的否定不能同时存在。

**主析取范式是令命题公式为真时，也为真的n个极小项的析取，这n个极小项的析取，与命题公式等价。**如下图：

不写P∧¬Q是因为，P∧¬Q为真值时，P为T，Q为F，对应第二行。此时命题公式为F，故不必列出。

主析取范式的原理是，选取一个命题公式，用极小项（也即是包含全部基本命题变元的合取）的析取，来与原命题公式等价。

这个时候就有一个问题，为什么这样的极小项就等价呢?

原理在于，一个命题公式，每一次N个（全部）命题变元取不同的值令其为真时，都对应着唯一的一个极小项（每一个极小项，都包含全部的命题变元的一种赋值情况）为真，将所有这样的极小项用V，析取符号，“或” 起来，就可以概括所有令命题公式为真的情况。当出现N个命题变元赋值与主析取范式里的极小项的赋值不同的情况时候，主析取范式里的极小项没有一个是取真值，主析取范式为假。

故主析取范式与原命题公式等价。

主合取范式

**主合取范式是令命题公式为假时，也为假的n个极大项的合取，这n个极大项的合取，与命题公式等价。**如下图：

主合取范式的原理是，N个极大项（也即是包含全部基本命题变元的析取）的合取，因为一个命题公式选择用极大项的合取来表示等价关系的时候，每一个极大项为假时，也对应一种命题变元的赋值情况，而所有极大项为假的情况的合取，就对应了命题公式所有为假时候的，命题变元的取值情况。

这样看来，同一个命题公式的主析取范式的极小项数量与主合取范式的极大项的数量之和，应该是N个命题变元的所有组合情况，两个命题变元则总的组合情况为4(2^2)，

三个命题变元的总的组合情况为8(2^3)。