平面、球、圆柱带电体的场强:高斯定理by 费世煌

知识点


  • 电通量
  • 高斯定理
    • 高斯面
    • 矢量积分转化为标量积分
  • 平面对称的电场
  • 球对称带电体的电场
    • (a)做通过某场点的同心球面作为高斯面,随后将对该面应用高斯定理:;
    • (b)公式中是指的这个高斯面所包围的体积内部的总电量。一定要想清楚电荷到底是如何分布的。在复杂的问题中,往往需要借助电荷密度来求解。
    • (c) 设该场点的电场强度,大小为,则该面的电通量必然为,其中是高斯球面的面积。
    • (d)于是得到核心方程:,解出 即可。
  • 轴对称带电体的电场
    • (a)通过该场点做同轴圆柱作为高斯面,随后将对该面应用高斯定理:;
    • (b)公式中是指的这个高斯面所包围的体积内部的总电量。一定要想清楚电荷到底是如何分布的。在复杂的问题中,往往需要借助电荷密度来求解。
    • (c) 设该场点的电场强度,大小为,则该面的电通量必然为,其中是高斯面(圆柱)的侧面积。
    • (d)于是得到核心方程:,解出 即可。

表达题


  • 一个非闭合面的电通量,其直观物理意义是贯穿某个面(比如一张纸,一面是红色,一面是黑色)的电场线的条数。注意,这里的贯穿,是指的从一面红色,从黑色穿出;即:电场线必须跟那张纸发生“交叉”,而不能是平行。则在匀强电场()中,如图所示的半径为,高度为的半圆筒,圆筒的轴线与电场线平行。则其电通量为( )

解答:0.

  • 一个闭合面的电通量,其直观物理意义是穿出、穿入它的电场线的次数。注意,穿出为正贡献、穿入为负贡献。则如图所示,,则其电通量为( )

解答:因为穿入穿出的电场线的正负贡献和为零


平面、球、圆柱带电体的场强:高斯定理by 费世煌_第1张图片
球.png
  • 匀强电场中,平面的电通量的计算式为:

  • 电通量的积分表达式为:

  • 高斯定理的公式是。如图所示有三个点电荷,分别为。我们画一个封闭的曲面,将围在里面,而让呆在该封闭曲面的外围。在此情形下,请分析高斯定理中的各项。

解答:封闭曲面的通量跟有关,跟无关。

根据场强叠加原理,任一点的跟有关。


  • 所有无限大的均匀带电的平面或平板,以及由它们彼此平行合成的各种组合体,均简称“平面带电体”。画图描述这类带电体的场强特征:

解答:
平面、球、圆柱带电体的场强:高斯定理by 费世煌_第2张图片
平面和平板.png
  • 任何无限大均匀带电平板,做图示的高斯面,则其通量计算出来必然为

解答:其中为该无限大均匀带电平板的电荷体密度,d为带电平板的厚度。


平面、球、圆柱带电体的场强:高斯定理by 费世煌_第3张图片
平面成像.png

  • “平板带电体”求电场的思路是:(a)通过某场点,在平板两边对称地做一个圆柱型表面作为高斯面,随后将对该面应用高斯定理:;
    (b)公式中 指的这个高斯面所包围的体积内部的总电量。一定要想清楚电荷到底是如何分布的。在复杂的问题中,往往需要借助电荷密度来求解。
    (c) 设该场点的电场强度,大小为,则该面的电通量必然为,其中是圆柱型表面的底面积。
    (d)于是得到核心方程:,解出 即可。
    现在有一个均匀带电的平板,电量体密度为,平板的厚度是。我们想求出该平板外部,距离中心为处的场点的电场()。我们过该点,做图示的高斯面。设该点电场大小为,则核心方程可能为:

解答:

  • 现在有一个均匀带电的平板,电量体密度为,平板的厚度是。我们想求出该平板内部,距离中心为处的场点的电场(<)。我们过该点,做图示的高斯面。设该点电场大小为,则核心方程可能为:

解答:

  • 无限大均匀带电平面,电荷面密度为,则其电场为

解答:1、,

​ 2、,

  • 组合带电体的场强请用叠加原理。考虑如图的“组合带电体”:由一个平面(电荷面密度)和一个平板(电荷体密度)进行平行组合而成。则P点的场强为( ) ","

解答:为平板的厚度

​ ,则


  • 所有均匀带电的球体,球壳,球面,以及由它们合成的各种“同心”组合体,均叫做“球对称带电体”。请画图表示这类带电体的场强特征

提示:距离球心为的各点,场强的大小都相等,并且方向一定在径向(球心——场点连线方向)上。

平面、球、圆柱带电体的场强:高斯定理by 费世煌_第4张图片
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  • 某半径为的均匀带电实心球体,设某场点到球心的距离是,场强的大小是。现在做半径为的虚拟球面(高斯面),则该面的电通量为( )

解答:

  • 现在有一个均匀带电的球壳,总电量为,球壳的半径是,球壳厚度可以忽略。我们想求出该球壳内部,距离球心为的处的电场()。我们过该点,做半径为 的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为,则核心方程可能为:
    (1)
    (2)
    (3)
    (4)
    解出电场来,观察其规律可能为:(请理解、归纳、记忆)
    (5) 均匀带电的薄球壳,内部场强为零。
    (6) 均匀带电的薄球壳,内部场强不为零。
    进而借助叠加原理思考:有厚度的空心带电球体,空腔里的场强为
    (7) 零。
    (8) 不一定。
    则正确的是( )

解答:(1)(5)(7)

  • 现在有一个均匀带电的球壳,总电量为,球壳的半径是,球壳厚度可以忽略。我们想求出该球壳外部,距离球心为的处的电场()。我们过该点,做半径为的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为,则核心方程可能为:
    (1)
    (2)
    (3)
    (4)
    解出电场来,观察其规律可能为:(请理解、归纳、记忆):均匀带电薄球壳的外部场强,( )等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
    (5) 能
    (6) 不能
    进而借助叠加原理思考:有厚度的空心带电球体,球外的场强,( )等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
    (7) 能
    (8) 不能。
    则正确的是( )

解答:(1)(5)(7)

  • 现在有一个均匀带电的球体,总电量为,球的半径是。我们想求出该球体外部,距离球心为的 处的电场()。我们过该点,做半径为的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为,则核心方程可能为:
    (1)
    (2)
    (3)
    (4)
    解出电场来,观察其规律可能为:(请理解、归纳、记忆)
    (5) 均匀带电球体的外部场强,等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。

    (6) 均匀带电球体的外部场强,不等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。

    则正确的是( )

解答:(1)(5)

  • 现在有一个均匀带电的球体,总电量为,球的半径是。我们想求出该球体内部,距离球心为的处的电场()。我们过该点,做半径为的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为,则核心方程可能为:
    (1) , with
    (2)
    (3)
    (4)
    结合以上求解过程知,均匀带电球体内部某场点的场强,可等效为( _ )集中到球心时产生的电场。(请理解、归纳、记忆)
    (5) 所有电荷。
    (6) 高斯面内所有电荷。
    则正确的是( )

解答:(1)(6)

  • 组合带电体的场强请用叠加原理。在上面几道题中,我们总结归纳了几条直观经验,具体地:
    (1) 均匀带电的薄球壳,内部场强为零。
    (2) 均匀带电薄球壳的外部场强,等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
    (3) 均匀带电球体的外部场强,等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
    (4)均匀带电球体的内部某场点的场强,可等效为高斯面内所有电荷集中到球心时产生的电场。
    结合以上四点,考虑如图的“组合带电体”:由一个实心带电球体和一个空心带电球壳进行同心组合而成。其中,实心球体电量为,球壳电量为。应用点电荷公式和叠加原理,得带电体外部场点处的电场大小为:

解答:为该点到球心的半径

  • 结合以上四点,考虑如图的“组合带电体”:由一个实心带电球体和一个空心带电球壳进行同心组合而成。其中,实心球体电量为,球壳电量为。应用点电荷公式和叠加原理,得空腔中场点处电场大小为:

解答:为该点到球心的半径

  • 如图的“组合带电体”:由一个实心带电球体和一个空心带电球壳进行同心组合而成。其中,实心球体电量为,球壳电量为。应用点电荷公式和叠加原理,得球内部场点处的场强电场大小为为:

解答:为该点到球心的半径


  • 所有无限长、均匀带电的细杆、空心圆筒、实心圆柱,以及由它们合成的各种“同轴”组合体,均叫做“圆柱型带电体”。请图示这类带电体的场强特征。

提示:距离轴线为的各点,场强的大小都相等,并且方向一定与轴线垂直。

  • 某圆柱型带电体(红色),设某场点到轴线的距离是,场强的大小是。现在过该场点做一个高度为的虚拟圆柱(蓝色,高斯面),则该面的电通量为:( )

解答:

  • 现在有一个无限长、均匀带电的细棒,电荷线密度为。我们想求出距离轴线(即细棒的中心线)为的处的电场。我们过该点,做高度为的同轴圆柱。设该点电场大小为,则核心方程可能为:

解答:

  • 现在有一个无限长、均匀带电、半径为的圆柱体,电荷体密度为。我们想求出带电体外部、距离轴线(即圆柱的中心线)为的处的电场()。我们过该点,做高度为的同轴圆柱面。设该点电场大小为,则核心方程为:

解答:

  • 现在有一个无限长、均匀带电、半径为的圆柱体,电荷体密度为。我们想求出圆柱带电体内部、距离轴线(即圆柱的中心线)为的处的电场()。我们过该点,做高度为的同轴圆柱。设该点电场大小为,则核心方程为:

解答:


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