【离散数学】图论（五）最短路径——戴克斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）

正文之前

戴克斯特拉算法(Dijkstra's algorithm)是由荷兰计算机科学家艾茲赫尔·戴克斯特拉提出。戴克斯特拉算法使用了广度优先搜索解决赋权有向图的单源最短路径问题，算法最终得到一个最短路径树。
                        ——Wikipedia

正文

1. 问题描述

在一个加权图G = {V, E}中，若要找出两个结点之间的最短路径，该如何寻找？

2. 算法描述

为了解决这个问题，我们采用的是戴克斯特拉算法(Dijkstra's algorithm)

这个算法的思想是：

• 对每个结点都做上标记，如果已知当前路径长度，则标记长度，否则标记为未知（本文中用 * 表示）

• 将图中的结点分为两个集合，一个为已经算出最短路径的结点集合V₁，另一个为未算出最短路径的结点集合V₂，每次迭代都将向V₁加入新元素，并以此新元素作为起点来继续迭代。

算法步骤

以此图为例来讲述步骤：

• 用蓝圈来标记已计算的结点

1. 起点为a，a = 0，b = 3，c = 2，V₁ = {a}，V₂ = {b,c,d,e,f}
   

2. 起点为c，b = 2 + 5 = 7 > 3，所以b还保留权值为3，e = 2 + 4 = 6，V₁ = {a,c}，V₂ = {b,d,e,f}

   

3. b为起点，d = 3 + 6 = 9，e = 3 + 3 = 6，V₁ = {a,c,b}，V₂ = {d,e,f}

   

4. e为起点，d = 6 + 5 = 11 > 9，d还保留权值为9，f = 6 + 7 = 13，V₁ = {a,c,b,e}，V₂ = {d,f}

   

5. d为起点，f = 9 + 6 = 15 > 13，f还保留权值为13，V₁ = {a,c,b,e,d}，V₂ = {f}

   

6. 将f加入V₂，算法结束，最短路径为(a,c,e,f)或(a,b,e,f)，长度为13

戴克斯特拉算法是基于广度优先搜索的，需要将所有的结点加入V₁后，才能结束算法

关于戴克斯特拉算法的介绍就到这里了，谢谢大家！