火車上能玩啥

記得四月底和妮妹坐火車回老家。車上無聊，就想找點啥樂子呢？突然想到，要不數人頭吧，看看從我面前走過的人流有什麼規律沒。然後就真記了一個鐘頭

時間	經過的人數
09:22	2
09:29	1
09:30	1
09:31	3
09:32	5
09:33	3
09:38	2
09:42	1
09:44	2
09:49	2
09:50	1
09:51	2
09:54	1
09:56	1
09:57	1
09:58	2
09:59	5
10:00	1
10:03	1
10:09	1
10:13	1
10:14	1
10:22	0[1]

但當時對人流模型是個什麼樣子也沒什麼想法，就記到飯否上，也沒管了。昨天突然想起來這事，決定做個了結。

第一個想法是，人不多，應該是服從 Poisson 分佈的吧。那就先看看「平均情況下，經過的人流數率」有沒有穩定在某個值上下。在每個數據點下，用「經過的總人數/這段時間」就可以算出每個時刻的人流平均數率。比如：09:22-09:32，一共經過了 12 個人，那麼這 10 分鐘內的平均人流數率就是 12人/10分鐘 = 1.2人/分鐘。

人流數率趨勢

很明顯，人流數率穩定在「0.75人/分鐘」上下。但我發現：這個小時總共有 40 個人經過，所以平均人流數率應該是 2/3 。所以我將所有的平均人流數率用 Excel 的�linest()線性擬合了下，估了個 0.73 ，覺得這個值可能更靠譜一點。

接下來可以用 Excel 的sumif()計算頻率：

間隔(m)	經過人次
1	27
2	3
3	2
4	2
5	4
6	1
7	1

其實 Excel 自帶計算 Poisson 分佈的函數poisson.dist()，我一開始不知道，還手寫了個。

間隔(m)	經過人次	概率	預期人次
1	27	35.18%	9.85
2	3	12.84%	3.60
3	2	3.12%	0.87
4	2	0.57%	0.16
5	4	0.08%	0.02
6	1	0.01%	0.00
7	1	0.00%	0.00

用 Poisson 分佈擬合

可以看到，結果比較令人失望。不說別的，當「間隔 > 4分鐘」以後，概率就已經降到極低了。這就意味着出現可能性很小。而我們當然見過，火車上一大波大媽從面前經過。看來火車上的人流並不符合 Poisson 分佈。

我們注意到，實測人流頭很高，尾巴很長。會不會是冪律分佈呢？將數據取對數，再用線性擬合，可以得到：

間隔(m)	經過人次	Poisson 分佈預期人次	冪律預期人次
1	27	9.85	15.82
2	3	3.60	5.88
3	2	0.87	3.30
4	2	0.16	2.19
5	4	0.02	1.59
6	1	0.00	1.23
7	1	0.00	0.99

用冪律分佈擬合

可喜的是，尾巴很接近了。但頭依然差距很遠。回頭再看看記錄，我們發現：09:38 有 2 個人經過，而之前一條記錄不是 09:37 ，而是 09:33 。這說明在 09:37 - 09:38 之間有 2 個人經過，而 09:33 - 09:37 之間沒有人經過。這樣，我們在 09:38 這樣的記錄之前插入一條「0 記錄」，即「09:37 0」。這樣我們就能用更小的粒度來刻畫人流模型了：

間隔(s)	經過人次
12	10
20	6
30	10
60	6
120	1
180	2
240	2
360	1

取對數，線性擬合…… 得到：

y = 63 x^(-0.7)

間隔(s)	經過人次	冪律預期人次
12	10	11.47
20	6	8.07
30	10	6.10
60	6	3.79
120	1	2.35
180	2	1.78
240	2	1.46
360	1	1.10

調整後的冪律擬合

好了，看着還算滿意。期間倒是學了不少 Excel 函數。

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其實我想說的是：透過數據，我們能看到更真實的事實、更深層的結構；而如果還是依賴直覺，我們只會將近來發生的相關印象強行拉來作爲判斷依據。偏誤、短視就是這麼造成的。數據思維才是真正的「實事求是」，人可真不知道我們的腦袋瓜子有多不靠譜。今年生日那天早上，我用 Ruby 算了下出生多少天了。因爲之前一直計劃着出生滿 1,0000 天那天要做點有意義的事。結果一看，都已經 1,0593 天了！！！也就是說都已經過去快兩年了！你看，人（至少是我）這腦子對時間的感覺有多不可靠。

上初中、剛學物理那會，就聽過原子彈爆炸的時候，Fermi 丟了一把碎紙片就把爆炸當量測出來了。從那起，就很羨慕那種神一般的「快估」能力。知道最近讀了 Tetlock 的《超預測》才瞭解些門道。原來人家都是先估「基本比率」，再在上面做微調。比如說：你聽說隔壁要搬來那新鄰居，老王，40 出頭，做會計出生，跟老婆離婚了，兒子 5 歲跟外婆住……你覺得他養狗的可能性有多大？

一般人首先會想，「哦，都奔四了，孩子還這麼小，還不跟自己。應該會養個把寵物找個心靈寄託。嗯，應該可能性很大！80% 吧？」。你知道高手怎麼考慮的嗎？他們上來先問「全國養狗的比例是多少？」你看，先考慮「基礎比例」。因爲人只要先得到一個數字，後面就只會在它上下調整。這用心理學的黑話就是「錨定效應」。

「唉唷~懂得可真多。你老婆要說「這麼點小事你都不幫忙！你在乎過我嗎？」，我倒是想看看，你那時候怎麼用數據說服你老婆，你在乎她！」

「呃~好吧」

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1. 沒有這條數據。但當時我在飯否上寫的是「記錄了一個小時」，所以我推測最後 8 分鐘沒有人經過。 ↩