计数排序、基数排序和桶排序

阅读经典——《算法导论》07

到目前为止，我们已经介绍了插入排序、归并排序、堆排序、快速排序这四种排序算法，他们的运行时间上界不会超过O(nlgn)。这些算法都有一个有趣的性质：在排序的最终结果中，各元素的次序依赖于它们之间的比较。我们把这类排序算法称为比较排序。

可以证明，基于比较的排序算法在最坏情况下的时间下界是Ω(nlgn)。堆排序和归并排序的运行时间上界为O(nlgn)，因此这两种排序算法都是渐进最优的比较排序算法。

从本文开始，我们探究比较排序以外的排序算法，这些算法可以摆脱下界Ω(nlgn)的限制，达到线性时间复杂度O(n)。

计数排序

计数排序假设n个输入元素中的每一个都是在0到k区间内的一个整数，其中k为某个整数。当k=O(n)时，排序的运行时间为Θ(n)。

计数排序的思想是，对每一个输入元素，计算小于它的元素个数，如果有10个元素小于它，那么它就应该放在11的位置上，如果有17个元素小于它，它就应该放在18的位置上。当有几个元素相同时，这一方案要略做修改，因为不能把它们放在同一个输出位置上。下图展示了实际的运行过程。

计数排序

构造辅助数组C，C的长度为k。第一次遍历A后，得到[0,k)区间上每个数出现的次数，将这些次数写入C，得到图(a)的结果。然后把C中每个元素变成前面所有元素的累加和，得到图(b)的结果。接下来，再次从后向前遍历数组A，根据取出的元素查找C中对应下标的值，再把这个值作为下标找到B中的位置，即是该元素排序后的位置。例如，图中A的最后一个元素是3，找到C[3]是7，再令B[7]=3即可，然后顺便把C[3]减一，这是防止相同的数被放到同一个位置。

计数排序的时间代价可以这样计算，第一次遍历A并计算C所花时间是Θ(n)，C累加所花时间是Θ(k)，再次遍历A并给B赋值所花时间是Θ(n)，因此，总时间为Θ(k + n)。在实际中，当k=O(n)时，我们一般会采用计数排序，这时的运行时间为Θ(n)。

完整代码见CountingSort.java。

基数排序

对于一组数据，我们可以按照每一位对它们进行排序。比如，考虑下面一组十进制数

329
457
839
355

先按最后一位从小到大排序，得到

355
457
329
839

再按中间一位从小到大排序，得到

329
839
355
457

最后按第一位从小到大排序，得到

329
355
457
839

其中，对任何一位的排序算法必须是稳定的，即相同数字不能改变它们的前后顺序。

基数排序算法的运行时间很容易计算，对于n个k进制d位数，假如每一位的排序使用计数排序算法，则该位排序用时为Θ(n + k)，总共d位数，总排序用时就是Θ(d(n + k))。当d为常数且k=O(n)时，总排序时间为Θ(n)。

完整代码见RadixSort.java。

桶排序

桶排序假设输入是由一个随机过程产生，该过程将元素均匀、独立地分布在[0,1)区间上。

我们将[0,1)区间划分为n个相同大小的子区间，称为桶。然后将输入数据分别放到各个桶中。如果数据分布得很均匀，每个桶中的数据就不会太多，都会维持在常数量级。我们先对每个桶中的元素排序，然后把所有桶中的元素顺序列出来即可。下图为n=10的一个案例。

桶排序.png

创建一个长度也为10的数组，将A中的元素按照大小找到B中合适的位置，插入链表。之后，分别对B中每个链表中的元素执行插入排序。最后将B中的所有元素依次取出即可。

现在分析桶排序的时间代价。将A中元素放入B用时Θ(n)，B中每个链表执行插入排序的用时，可以证明是O(2 - 1/n)，于是总用时就是Θ(n) + n * O(2 - 1/n) = Θ(n)。具体证明过程比较难理解，这里我想给出一个容易理解的解释，虽然不一定对，但还是可以帮助理解为什么总用时是Θ(n)。n个数放入n个桶，平均下来每个桶只有一个数，在实际中，可能有的多有的少，但都不会差得太离谱。因此我们可以认为每个桶中只有常数个数，那么对常数个数执行插入排序所用的时间当然也就是O(1)了。于是n个桶总用时就是O(n)，加上前面的Θ(n)，桶排序总用时就是Θ(n)了。

完整代码见BucketSort.java。

总结

本文介绍的三种排序算法——计数排序、基数排序和桶排序都是线性时间排序算法，它们都可以在O(n)时间内完成排序。但需要注意的是，排序速度的提高并不是无缘无故的，这几种算法都有或多或少的前提条件，都规定了输入数据的大小范围，甚至要求均匀分布，这就注定了这些算法只能在特定情况下使用，而无法对任何输入都适用。而且，这三种算法都不是原址排序，都使用了额外的辅助内存空间，因此对于内存敏感的环境也不适用。在合适的地方选用合适的排序算法，才能达到事半功倍的效果。

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