常微分方程(ode)一步法的求解(python) (龙格库塔法(Runge-Kutta))

第四十六篇 常微分方程的一步法

之所以称为一步方法，是因为只需要有关前一步的信息就可以在下一步生成解。这使得一步法在计算机程序中相对容易实现。正如许多数值方法的典型，每一步做的工作越多，通常获得的精度就越大。需要在增加每个步骤的工作和减少范围的步骤数之间进行权衡。
一步法主要分为下面几种类型

欧拉法

修正欧拉法

中点法

4阶龙格库塔法

详情可见上篇文章常微分方程编程基础

程序如下

#常微分方程的一步法
import numpy as np
itype=4;n=1;nsteps=5;h=0.1 
k0=np.zeros((n))
k1=np.zeros((n))
k2=np.zeros((n))
k3=np.zeros((n))
y=np.zeros((n))
x=0.0;y[:]=(1.0)
def f71(x,y):
    n=y.shape[0]
    f71=np.zeros((n))
    f71[0]=(x+y[0])**2
    return f71
print('常微分方程的一步法')
if itype==1:
    print('**欧拉法**')
    print('x          y(i) , i=1',n)
    for j in range(0,nsteps+1):
        print('{:9.5e}'.format(x),end='  ')
        for i in range(1,n+1):
            print('{:9.5e}'.format(y[i-1]))
        k0=h*f71(x,y);y=y+k0;x=x+h
elif itype==2:
    print('**修正欧拉法**')
    print('x           y(i) , i=1',n)
    for j in range(0,nsteps+1):
        print('{:9.5e}'.format(x),end='  ')
        for i in range(1,n+1):
            print('{:9.5e}'.format(y[i-1]))
        k0=h*f71(x,y);k1=h*f71(x+h,y+k0);y=y+(k0+k1)/2.0;x=x+h
elif itype==3:
    print('**中点法**')
    print('x           y(i) , i=1',n)
    for j in range(0,nsteps+1):
        print('{:9.5e}'.format(x),end='  ')
        for i in range(1,n+1):
            print('{:9.5e}'.format(y[i-1]))
        k0=h*f71(x,y);k1=h*f71(x+h/2.0,y+k0/2.0);y=y+k1;x=x+h
elif itype==4:
    print('**四阶龙格库塔法**')
    print('x             y(i) , i=1',n)
    for j in range(0,nsteps+1):
        print('{:9.5e}'.format(x),end='  ')
        for i in range(1,n+1):
            print('{:9.5e}'.format(y[i-1]))
        k0=h*f71(x,y);k1=h*f71(x+h/2.0,y+k0/2.0)
        k2=h*f71(x+h/2.0,y+k1/2.0);k3=h*f71(x+h,y+k2)
        y=y+(k0+2.0*k1+2.0*k2+k3)/6.0;x=x+h

终端输出结果如下：