【统计模拟及其R实现】逆变换 / 筛选法 / 合成法 上机习题答案（超详细）

课本：统计模拟及其R实现 - 肖枝红,朱强 武汉大学出版社

参考课件：第三章 随机数 - 浙江大学数学科学学院

目录

1. 逆变换法

2. 筛选法

3. 合成法

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 1. 逆变换法

题目1：用逆变换方法生成如下密度函数的随机变量，要求写出R程序：Cauchy概率密度函数  

解：

首先求得Cauchy分布函数  

记  

则有   

从上式中反解出x，得   

故可以通过生成随机变量U后，令   即可得到随机变量X的模拟值.

代码：

t1 = function(n) {
  U = runif(N)
  X = tan(pi*(U-0.5))
  X
}

t1(10) # 生成10个随机变量X

题目2：用逆变换方法生成如下概率函数的随机变量，要求写出R程序：

解：

令 

若    成立，就可以得到X的值

令  ，将i反解，得到 

故可以通过生成随机变量U后，令   即可得到随机变量X的模拟值.

代码：

t2 = function(n) {
  U = runif(n)
  X = floor((1+U)/(1-U))
  X
}

t2(10)

2. 筛选法

题目1：用筛选法来模拟如下密度函数的随机变量，f(x)是需要模拟的随机变量密度函数，g(x)是其对应的筛选函数：

解：

算法步骤如下：

① 生成密度函数为g的随机变量Y

② 生成随机数U

③ 如果  ，令X=Y，否则转至步骤①

代码：

t3 = function(n) {
  x = 1; x[2] = 1
  for (i in 1:n) {
    repeat {
      u1 = runif(1)
      y = sqrt(-2*log(u1))
      u2 = runif(1)
      if (u2 <= 1/(1+y^2)) {
        x[i] = y
        break
      }
    }
  }
  x
}

t3(10)

题目2：令X是一个均值为1 的指数随机变量，给出一个有效算法来模拟一个随机变量，其分布函数为给定的X<0.05条件下的X的条件分布，也就是它的密度函数为：

解：

选择筛选法进行随机变量模拟，选择  ，则有

   成立，接下来可使用题目1中的步骤进行解答.

代码：

t4 = function(n) {
  x = 1; x[2] = 1
  for (i in 1:n) {
    repeat {
      u1 = runif(1)
      y = -log(u1)
      u2 = runif(1)
      if (u2 <= 1/(1-exp(-0.05)) & y>0 & y<0.05) {
        x[i] = y
        break
      }
    }
  }
  x
}

t4(10)

3. 合成法

题目：假设随机变量X分别依照概率 0.06, 0.06, 0.06, 0.06, 0.06, 0.15, 0.13, 0.14, 0.15, 0.13 取值 1, 2, ..., 10. 用合成法产生X值

解：

题目中给出的分布律为：

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P	0.06	0.06	0.06	0.06	0.06	0.15	0.13	0.14	0.15	0.13

观察可得，相同概率的数字有：

1 2 3 4 5 - 概率为0.06，分布律记为X1

6 9 - 概率为0.15，分布律记为X2

7 10 - 概率为0.13，分布律记为X3

8 - 0.14

创建X1的分布律：

X	1	2	3	4	5
P	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2

创建X2的分布律：

X	6	9
P	0.5	0.5

创建X3的分布律：

X	7	10
P	0.5	0.5

算法思路：

① 产生两个均匀分布的随机数u1 u2

② 当 u1 <= 0.3，令 X = 1*floor(5*u2) + 1

（1*floor意思是1 2 3 4 5 6的间隔为1，5*u2意思是0.2*5=1，+1的意思是起始值为1，后面以此类推）

③ 当 u1 <= 0.6，令 X = 3*floor(2*u2) + 6

④ 当 u1 <= 0.86，令 X = 3*floor(2*u2) + 7

⑤ 当 u1 为其他值时，令 X = 8

代码：

t5 = function(n) {
  x = 0; x[2] = 0
  for (i in 1:n) {
    u1 = runif(1); u2 = runif(2)
    if (u1 <= 0.3) {
      x[i] = floor(5*u2)+1
    } else if (u1 <= 0.6) {
      x[i] = 3*floor(2*u2)+6
    } else if (u1 <= 0.86) {
      x[i] = 3*floor(2*u2)+7
    } else {
      x[i] = 14
    }
  }
  x
}

t5(10)

后记

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