半径为r的均匀带电球体_The Laplacian of (1/r),格林函数与泊松方程

1.证明

先说结论：

(1)

其中，

for

(2)

式子(1)在导出泊松方程的解（Green's function）中发挥着重要作用，后面将加以阐述。

证明式子(1):

1）补充球坐标下梯度算子与拉普拉斯算子，球体面元公式：

,

.

2）补充散度定理：

3）开始证明：

当

时，

当r包含原点时，对

进行体积分，则：

其中

不包含原点，

是以原点为球心，半径为r的球体。利用散度定理可知：

,

其中，

为球体表面外法线方向的单位向量，注意其与半径方向一致，则：

，其中

为单位向量，则原式：

.

因此，若包含原点，

；

若不包含原点，

结合（2）式，则：

更一般地，

(3)

2. Green's function and Poisson's equation

式子(3)有什么用呢？令

, (4)

则:

(5)

因此，式子(5)是一个作用源为单位点源（作用点在

）的泊松方程(Poisson's equation)，其解为(4)式（Green's function）。对任何一个泊松方程：

我们可以把源

看成由无数点组成，则每个单位点源的解都为Green's function，然后做叠加就能求得

。这样就把求解微分方程变为加法（积分）运算，其解

为：

其中

是每个点源的位置。

证明非常简单：

.

注意

在每个点的位置都为一个常量，所以只对Green's function做拉普拉斯运算。

例：

则其解为：